专题讲座1四大数学思想思想1函数与方程思想函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则3f(ln2)与2f(ln3)的大小关系为________．(2)直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，直线l过点P(0，－2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a的取值范围为________．(1)3f(ln2)＞2f(ln3)(2)[(1)令F(x)＝，则F′(x)＝.因为对∀x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0，即F(x)在R上单调递减．又ln2＜ln3，所以F(ln2)＞F(ln3)，即＞，所以＞，即3f(ln2)＞2f(ln3)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线l与x轴的交点为N(a,0)．由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.因为直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，所以解得k＞.又M为线段AB的中点，所以由P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，所以＝，所以－＝2k＋.又因为k＞，所以2k＋≥2，当且仅当k＝时等号成立，所以－≥2，则－≤a≤0.]函数与方程思想在解题中的应用1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2．数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．[变式训练1]将函数y＝sin的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为________．【导学号：19592069】[把y＝sin的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝sin＝sin的图象，而此图象关于y轴对称，则4m－＝kπ＋(k∈Z)，解得m＝kπ＋(k∈Z)．又m＞0，所以m的最小值为.]思想2数形结合思想数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质．(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．(2016·山东高考)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是_____．(3，＋∞)[作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m20.又m>0，解得m>3.]数形结合思想在解题中的应用1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．3．构建解析几何模型求最值或范围．4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．[变式训练2](1)若方程x2＋(1＋a)x＋1＋a＋b＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是________．(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．(1)(2)(0,1)∪(1，＋∞)[(1)由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一根大于1.设f(x)＝x2＋(1＋a)x＋1＋a＋b，则即作出可行域如图阴影部分所示．可以看作可行域内的点(a，b)与原点(0,0)连线的斜率，由图可知kOA＝－，∴－2＜＜－.(2)设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,00，x<－1，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．]思想3分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不...
