数学思想集训(四)转化与化归思想题组1正与反的相互转化1．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是________．1[命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.]2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．[甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－＝.]3．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围为________．[如果在[－1,1]内没有值满足f(c)＞0，则⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围．故实数p的取值范围为.]4．若椭圆＋y2＝a2(a＞0)与连结两点A(1,2)，B(3,4)的线段没有公共点，则实数a的取值范围为________．∪[易知线段AB的方程为y＝x＋1，x∈[1,3]，由得a2＝x2＋2x＋1，x∈[1,3]，∴≤a2≤.又a＞0，∴≤a≤.故当椭圆与线段AB没有公共点时，实数a的取值范围为∪.]5．已知点A(1,1)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足AF1＋AF2＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A，B两点关于原点O不对称．[解](1)由椭圆定义，知2a＝4，所以a＝2，所以＋＝1.3分把A(1,1)代入，得＋＝1，得b2＝，所以椭圆方程为＋＝1.5分所以c2＝a2－b2＝4－＝，即c＝.故两焦点坐标为，.8分(2)反证法：假设A，B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，10分此时AB＝2，而当点B取椭圆上一点M(－2,0)时，则AM＝，所以AM>AB.14分从而知AB不是最大，这与AB最大矛盾，所以命题成立.16分题组2主与次的相互转化6．设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为________．【导学号：19592074】(－∞，－1]∪[0，＋∞)[∵f(x)是R上的增函数，∴1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．①①式可化为(x－1)a＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，则解得x≥0或x≤－1.即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]7．已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，则实数x的取值范围为________．[由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.对－1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即φ(a)＜0，∴即解得－＜x＜1.故当x∈时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.]8．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.f(p)在0≤p≤4上恒正，等价于即解得x＞3或x＜－1.]9．已知函数f(x)＝x3＋x2＋x(0＜a＜1，x∈R)．若对于任意的三个实数x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)＞f(x3)恒成立，求实数a的取值范围．[解]因为f′(x)＝x2＋x＋＝(x＋a－2)，3分所以令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝2－a.由0＜a＜1，知1＜2－a＜2.所以令f′(x)＞0，得x＜或x＞2－a；5分令f′(x)＜0，得＜x＜2－a，所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2－a)＝(2－a)2，最大值为max{f(1)，f(2)}＝max.10分因为当0＜a≤时，－≥a；当＜a＜1时，a＞－，由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)＞f(x3)恒成立，得2f(x)min＞f(x)max(x∈[1,2]).12分所以当0＜a≤时，必有2×(2－a)2＞－，结合0＜a≤可解得1－＜a≤；14分当＜a＜1时，必有2×(2－a)2＞a，结合＜a＜1可解得＜a＜2－.综上，知所求实数a的取值范围是1－＜a＜2－.16分
