等差数列前n项和公式的应用等差数列的前n项和公式是一个很重要的公式．对这个公式的形式和本质特征的研究，将有助于提高我们的计算能力和分析、解决问题的能力．一、分析公式的结构特征难得出下面的结论：中间项．2．当n是偶数时，a1与an的等差中项不是该数列的项，它的值等于数列前n项中正中间两项的算术平均数．根据上述结论，可得：性质1等差数列{an}中．S2n-1=(2n－1)an；S2n=n(an＋an+1)．(因为an是前2n－1项的正中间；an，an+1是前2n项的正中间两项)例1(1)等差数列中，若a8=5，则S15=________．(2)等差数列{an}中，若a6=a3＋a8，S9=________．解(1)依性质1，得S15=S2×8-1=(2×8－1)a8=15a8，而a8=5，∴S15=15×5=75．(2)∵a6=a3＋a8，由通项公式，得a1－(6－1)d=[a1＋(3－1)d]＋[a1＋(8－1)d](d为公差)．整理得a1＋4d=0．即a1＋(5－1)d=0，而a5=a1＋(5－1)d，∴a5=0．由性质1得S9=S2×5-1=(2×5－1)a5=9×0=0．例2设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，指出：S1、S2、S3、…、S12中哪一个值最大，并说明理由．解依题意，有∴a6＞－a7＞0，而a7＜0(公差d＜0)，故S1，S2，S3，…，S12中S6的值最大．二、注意公式的变形我们有：例3等差数列{an}的前m项和为30，前2m项为100，则它的前3m项和为[]A．30B．170C．210D．260解已知Sm=30，S2m=100，求S3m=？均成等差数列．则∴S3m=210．故选(C)．S3m－S2m成等差数列．性质3等差数列中依次每m项和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．例4等差数列{an}的前n项和为S1，次n项和为S2，后n项和为S3，证明由性质3，知：S1，S2，S3成等差数列，
