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高考数学 题型全归纳 用函数观点看数列问题VIP免费

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用函数观点看数列问题新教材将数列安排在函数之后学习,强调了数列与函数知识的密切联系.从函数的观点出发,变动地、直观地研究数列的一些问题,一方面有利于认识数列的本质,另一方面有利于加深对函数概念的理解.本文拟用函数的观点来认识一些数列问题.1数列的本质数列可看作一个定义域为N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,用图象表示是一群孤立的点.例如,对于公差不为零的等差数列{an}来说,它的通项是关于n的一次函数,从图象上看,表示这个数列各点均匀地分布在一次函数y=ax+b(a≠0)的图象上;它的前n项和Sn是关于n的无常数项的二次函数,因此Sn/n也是关于n的一次函数.式是________.考虑到an是关于n的一次函数,故pn+q与(n-1)或(2n-1)是同类因式.由待定系数法知:p+q=0(舍去)或p+2q=0.例2等差数列{an}中,ap=q,aq=p(p≠q)求ap+q.解由于等差数列的通项an是关于n的一次函数,故三点(p,q),(q,p),(p+q,ap+q)共线.解由题设知:公差a≠0.例4已知{an}是等差数列.(1)2a5=a3+a7是否成立?2a5=a1+a9是否成立?(2)2an=an-2+an+2(n>2)是否成立?2an=an-k+an+k(n>k>0)是否成立?(新教材第一册(上)第119页习题10)解表示数列{an}的各点,均匀地分布在一条直线上.不妨设公差d>0.(1)如图1,画出点(3,a3),(5,a5),(7,a7).由中位线定理得2a5=a3+a7.如图2,画出点(1,a1),(5,a5),(9,a9).作辅助线AC,同样有2a5=a1+a9.故(1)中两式全成立.(2)画出图3,图4.类似(1),有2an=an-2+an+2(n>2),2an=an-k+an+k(n>k>0).故(2)中两式全成立.说明在例4中运用图象直观地刻划了等差数列的有关性质,同样还可直观地刻划等差数列的其它性质,如(i)an=am+(n-m)d(m,n,∈N*);(ii)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).2数列的单调性在数列{an}中,如果an<an+1对n∈N*都成立,那么称{an}是单调递增数列;如果an>an+1对n∈N*都成立,那么称{an}是单调递减数列.数列的单调性可以用函数的单调性来刻划.例如,公差不为零的等差数列的单调性与一次函数的单调性相同;公比大于零且不等于1的等比数列的单调性与指数型函数y=kax(a>0且a≠1)的单调性相同.例5已知数列的通项公式为an=n2-10n+10.这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大?从第几项起各项的数值均为正值?数列中是否还存在数值与首项相同的项?解表示数列{an}的各点都在函数y=x2-10x+10的图象上.由图5可得,这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大,从第9项起各项的数值均为正值,第9项是与首项相同的项.说明以函数的观点认识、理解数列,才能自觉地用函数的单调性去研究数列的单调性.∴数列{an}为递减数列,∴数列{an}中的最大项为即log(a-1)a-2loga(a-1)>1成立.解此不等式可得3数列的最值运用函数观点求数列的最值,可以更深刻地认识数列的本质,同时又能深化对函数概念的理解.例7若数列{an}的通项公式为an=-n2+7n(n∈N*),求an的最大值,并与函数y=-x2+7x(x∈R)的最大值作比较.解作出函数y=-x2+7x(x∈R)的图象.从图象上看,表示数列{an}的各点都在抛物线y=-x2+7x(x∈R)上,由图象得说明经比较发现数列{an}与函数y=-x2+7x(x∈R)在不同的地方取到不同的最大值,这是由于两者的定义域不同所造成的.例8等差数列{an}前n项和为Sn,已知a1>0,S9=S16,问n为何值时,Sn最大?解由题意知:{an}是单调递减数列,故点(n,Sn)在开口向下的抛物线上,又点∴当n=12或n=13时,Sn最大.函数是高中数学的重要知识,它象一根主线贯穿于高中数学的各个章节中.新教材在数列这一章中大量渗透了函数思想,这正是新教材“新”之所在,它不仅有助于学生认识数列的本质,而且也使学生对函数概念的理解逐步升华.

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