高考数学一轮复习 第五章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和分层演练直击高考 文-人教版高三数学试题VIP免费

第2讲等差数列及其前n项和1．(2018·南通模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝1，a4＝5，则S5＝________.[解析]法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d，d＝2，a1＝－1，S5＝15.法二：S5＝＝＝＝15.[答案]152．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为________．[解析]am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.所以m＝37.[答案]373．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝__________．[解析]设{an}的公差为d，由题意知解得所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.[答案]－14．(2018·温州模拟)记Sn为等差数列{an}前n项和，若－＝1，则其公差d＝________．[解析]由－＝1，得－＝1，即a1＋d－＝1，所以d＝2.[答案]25．已知{an}为等差数列，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝________.[解析]由<－1，得<0，且它的前n项和Sn有最大值，则a10>0，a11<0，a11＋a10<0，则S19>0，S20<0，那么当Sn取得最小正值时，n＝19.[答案]196．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(四))已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为________．[解析]法一：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，所以a＝a1a4，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，因为d≠0，所以a1＝－4d，所以＝＝＝＝－3.法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，所以a＝a1a4，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，因为d≠0，所以a1＝－4d，所以＝＝＝＝－3.[答案]－37．(2018·泰安模拟)正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，2a＝a＋a(n∈N，n≥2)，则a7＝________.[解析]因为2a＝a＋a(n∈N，n≥2)，所以数列{a}是以a＝1为首项，以d＝a－a＝3为公差的等差数列，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，n≥1，所以a7＝＝.[答案]8．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值为________．[解析]由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.[答案]609．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}的前n项和，若Sn取得最大值，则n等于________．[解析]因为3a4＝7a7，所以3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以a1＝－d>0，所以d<0，所以an＝a1＋(n－1)d＝(4n－37)，当n≤9时，an>0，当n≥10时，an<0，所以使Sn取得最大值的n＝9.[答案]910．(2018·南京模拟)已知正项数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＋＝2，则a12＝________．[解析]因为＋＝2，所以＋＝，所以为等差数列，且首项为＝，公差为－＝，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝，所以a12＝.[答案]11．(2018·徐州调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：因为bn＝，且an＝，所以bn＋1＝＝＝，所以bn＋1－bn＝－＝2.又b1＝＝1，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，所以an＝＝.所以数列{an}的通项公式为an＝.12．(2018·南京、盐城高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－，(n＋2)·cn＝－，其中n∈N*.(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．解：(1)因为{an}是公差为2的等差数列，所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1.因为(n＋2)cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，所以cn＝1.(2)证明：由(n＋1)bn＝an＋1－，得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)·an＋2－Sn＋1，两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn.从而(n＋2)cn＝－＝－[an＋1－(n＋1)bn]＝＋(n＋1)bn＝＋(n＋1)bn＝(bn＋bn＋1)，因此cn＝(bn＋bn＋1)．因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ.所以(n＋1)λ＝an＋1－，①(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－，②②－①得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ，...