第6节曲线与方程【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程1,6直接法求轨迹(方程)2,7,10,14,15定义法求轨迹(方程)4,8,11相关点法求轨迹(方程)3,5,12,13参数法求轨迹(方程)9,16基础对点练(时间:30分钟)1.方程(x2+y2-4)=0的曲线形状是(C)解析:原方程可化为或x+y+1=0.显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选C.2.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹是(B)(A)直线(B)圆(C)椭圆(D)双曲线解析:设P(x,y),则=2,整理得x2+y2-4x=0,又D2+E2-4F=16>0,所以动点P的轨迹是圆.3.(2016银川模拟)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是(D)(A)2x+y+1=0(B)2x-y-5=0(C)2x-y-1=0(D)2x-y+5=0解析:设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0.4.(2016长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为(D)(A)-=1(B)+=1(C)-=1(D)+=1解析:因为M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆.所以a=,c=1,则b2=a2-c2=,所以椭圆的方程为+=1.5.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(C)(A)+=1(y≠0)(B)+y2=1(y≠0)(C)+3y2=1(y≠0)(D)x2+=1(y≠0)解析:依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得即代入+=1得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).6.(2015山西联考)已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为(B)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:因为e是方程2x2-5x+2=0的根,所以e=2或e=.mx2+4y2=4m可化为+=1,当它表示焦点在x轴上的椭圆时,有=,所以m=3;当它表示焦点在y轴上的椭圆时,有=,所以m=;当它表示焦点在x轴上的双曲线时,可化为-=1,有=2,所以m=-12.所以满足条件的圆锥曲线有3个.7.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是.解析:设P(x,y),因为△MPN为直角三角形,所以|MP|2+|NP|2=|MN|2,所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4.因为M,N,P不共线,所以x≠±2,所以轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2).答案:x2+y2=4(x≠±2)8.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是.解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6,根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为-=1(x>3).答案:-=1(x>3)9.(2015聊城一模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是.解析:设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.答案:y=2x-210.(2015宜宾模拟)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使·,·,·成公差小于零的等差数列,求点P的轨迹方程.解:设点P的坐标为(x,y),则·=(x+1,y)·(2,0)=2(x+1),·=(-1-x,-y)·(1-x,-y)=x2+y2-1,·=(-2,0)·(x-1,y)=2(1-x),根据已知得2·=·+·,即2(x2+y2-1)=2(1+x)+2(1-x),化简得x2+y2=3,又由公差小于0可知2(1-x)-2(1+x)<0,解得x>0,所以点P的轨迹方程为x2+y2=3(x>0).11.(2015唐山一模)已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN(图略),则|OM|+|MN|=|ON|=2,取A关于y轴的对称点A′,连接A′B,故|A′B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4.所以点B的轨迹是以A′,A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则⊥.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又+=1,解得x0=,y0=±.则kOB=±,kAB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是(A)(A)x2+3y2=1(x>0,y>0)(B)x2-3y2=1(x>0,y>0)(C)3x2-...
