10.3二项式定理1．(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中，沙洋中学联考)在6的展开式中，常数项为()A．－240B．－60C．60D．240答案D解析6的二项展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)6－rr＝C(－2)rx12－3r，令12－3r＝0得r＝4，即常数项为T5＝C(－2)4＝240.2.5的展开式中x3项的系数为()A．80B．－80C．－40D．48答案B解析5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r·25－r·C·x5－2r，令5－2r＝3，得r＝1.于是展开式中x3项的系数为(－1)·25－1·C＝－80，故选B.3．(2019·十堰调研)若n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析n展开式的通项为C(x6)n－r＝C，r＝0,1,2，…n，则依题设，由6n－r＝0，得n＝r，∴n的最小值等于5.4．(2020·广州海珠区模拟)(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80答案D解析(2x－y)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r(－y)r，当r＝2时，T3＝240x4y2，当r＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D.5．(2019·江淮十校考前最后一卷)已知(x＋1)(2x＋a)5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是()A．－40B．－20C．20D．40答案D解析令x＝1，可得(x＋1)(2x＋a)5的展开式中各项系数和为2(2＋a)5＝2.∴a＝－1.二项式(2x－1)5的展开式的通项为32rx1562nrxTr＋1＝C(2x)5－r·(－1)r＝25－r·(－1)r·C·x5－r，所以(x＋1)(2x－1)5的展开式中含x3项的系数为22(－1)3C＋23(－1)2C＝40.6．在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为()A．50B．70C．90D．120答案C解析令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝C3r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90.7．(多选)二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项答案CD解析本题考查二项式系数的性质．因为二项式(2x－1)7展开式的各项的二项式系数为C(r＝0,1,2,3,4,5,6,7)，易知当r＝3或r＝4时，C最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4项和第5项．8．(多选)对于二项式n(n∈N*)，以下判断正确的有()A．存在n∈N*，展开式中有常数项B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项答案AD解析该二项展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r(x3)r＝Cx4r－n，∴当n＝4r时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4r－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误．故选AD.9．(2020·镇江质检)(x－)6的展开式中，含x5项的系数为________．答案15解析展开式的通项为Tr＋1＝C·(－1)r·，令6－＝5，得r＝2，故含x5的系数为C＝15.10．(2019·晋城模拟)(2－3x)2(1－x)7的展开式中，x3的系数为________．答案－455解析依题意，x3的系数为4C×(－1)3－12C(－1)2＋9C(－1)＝－455.352rx－62rx－11．已知(2x＋1)5(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a＝________，展开式中常数项为________．答案－10解析在(2x＋1)5中，令x＝1，得(a＋1)·35＝81，解得a＝－，所以(2x＋1)5的展开式中的常数项为·C·2x＝10.12．(2019·怀化模拟)若在n的二项展开式中，第3项和第4项的二项式系数相等且最大，则·n的展开式中的常数项为________．答案－120解析由n的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则展开式共6项，即n＝6－1＝5，又n展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－rr＝25－rCx5－2r，则·n的展开式中的常数项为22C－2·23C＝－120.13．已知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与4的展开式中x3的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ等于()A.B.或C.D.或答案B解析由二项式定理知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数为Ccos2θ，4的展开式中x3的系数为C×，所以Ccos2θ＝C×，解得cos2θ＝，解得cosθ＝±，又θ∈(0，π)，所以θ＝或，故选B.14.5的展开式中常数项是________．答案－1683解析5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，，，－3，则此时的常数项...
