4.5.2简单的三角恒等变换1．计算：等于()A.B.C.D．－答案A解析＝＝＝.2．若sin＝，则cos等于()A．－B．－C.D.答案A解析cos＝cos＝－cos＝－＝－＝－.3．已知cos＝，则sin2x等于()A.B.C．－D．－答案C解析因为cos＝coscosx＋sinsinx＝(cosx＋sinx)＝，所以sinx＋cosx＝，所以1＋2sinxcosx＝，即sin2x＝－1＝－.4．(2020·福州模拟)4cos50°－tan40°等于()A.B.C.D．2－1答案C解析4cos50°－tan40°＝＝＝＝＝＝.故选C.5．若＝，则sin2α的值为()A．－B.C．－D.答案B解析＝＝(cosα－sinα)＝，即cosα－sinα＝，等式两边分别平方得cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－sin2α＝，解得sin2α＝.6．设α∈，β∈，且tanα＝，则()A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝答案B解析因为tanα＝，所以＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sinx在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B.7．(多选)函数f(x)＝sinxcosx的单调递减区间可以是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案AB解析f(x)＝sinxcosx＝sin2x，由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，∴函数f(x)＝sinxcosx的单调递减区间是(k∈Z)，∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确．故选AB.8．(多选)下列说法不正确的是()A．存在x0∈R，使得1－cos3x0＝log2B．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期为πC．函数y＝cos2的一个对称中心为D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角答案ABC解析在A中，因为cosx0∈[－1,1]，所以1－cos3x0≥0，因为log20，cos(α＋β)<0，因为cos＝，sin(α＋β)＝，所以sin＝，cos(α＋β)＝－.所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.13．(2019·福建省百校联考)若α∈(0，π)，且sinα＋2cosα＝2，则tan等于()A.B.C.D.答案A解析由已知得cosα＝1－sinα.代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋2＝1，整理得sin2α－sinα＝0，解得sinα＝0或sinα＝.因为α∈(0，π)，所以sinα＝，故cosα＝1－×＝.所以tan＝＝＝.14．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝______.答案解析由题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，又cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.又0<β<，故β＝.15．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.答案－解析∵α∈，∴－α∈，又cos＝，∴sin＝－，∵sin＝－，∴sin＝，又∵β∈，＋β∈，∴cos＝，∴cos(α＋β)＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－.16．(2019·江苏泰州中学模拟)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan＝.(1)求cosα的值；(2)证明：sinβ>.(1)解∵tan＝，∴tanα＝＝＝.∴又α∈，解得cosα＝.(2)证明由已知得<α＋β<.∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.由(1)可得sinα＝，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝>.
