问题12利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考．二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值．(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解．(5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(6)求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围．三、知识拓展1．(1)若Rba,,则；(2)若Rba,,则222baab（当且仅当ba时取“=”）．2．(1)若00a,b,则abba2；(2)若00a,b,则（当且仅当ba时取“=”）；(3)若00a,b,则（当且仅当ba时取“=”）．3．若0x,则12xx（当且仅当1x时取“=”）；若0x,则12xx（当且仅当1x时取“=”）；若0x,则12xx,即12xx或12xx（当且仅当ba时取“=”）．4．若0ab,则2abba（当且仅当ba时取“=”）；若0ab,则2abba,即2abba或2abba（当且仅当ba时取“=”）．6．若Rba,,则（当且仅当ba时取“=”）．7．一个重要的不等式链：．8.9．函数图象及性质(1)函数图象如右图所示：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：；单调递减区间：．10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．四、题型分析(一)利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本．因为在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用．主要有两种类型：一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式．类型一给出定值【例1】【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末】已知实数，且，则的最小值为____【答案】【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，所以，，令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，所以，当且仅当，即当时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．【小试牛刀】设,xy是正实数,且1xy,则的最小值是__________．【答案】14．【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】【分析二】考虑整体替换的方法,分母的和为常数．【解析二】设2xs,1yt,则4st,类型二未知定值【例2】已知,xy为正实数,则433xyxyx的最小值为A．53B．103C．32D．3【答案】3【解析】,当且仅当时取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．【小试牛刀】已知函数在R上是单调递增函数,则23cba的最小值是【答案】1【解析】由题意的,因为函数fx在R上单调递增,所以满足,可得23bca,且0a所以,当且仅当3ba时等号成立,所以.技巧一：凑项【例3】设0ab,则的最小值是【分析】拼凑成和为定值的形式【解析】4(当且仅当和1abab,即222ba时取等号).【点评】使用...
