圆锥曲线大题集锦1．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2222:1(0)xyabab的右焦点，已知点A（0，－2）与椭圆左顶点关于直线yx对称，且直线AF的斜率为233．（1）求椭圆的方程；（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于M，N两点，交直线x＝－4于点E，,MQQNMEENuuuuruuuruuuruuur，证明：为定值．2已知定圆M：16)3(22yx，动圆N过点)0,3(F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E。（1）求轨迹E的方程；（2）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且CBAC，当ABC的面积最小时，求直线AB的方程。3.已知1F，2F分别是椭圆C：22221(0)xyabab的两个焦点，)221(，P是椭圆上一点，且12PF，21FF，22PF成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点2F，且与椭圆C交于AB、两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得716QAQBuuuruuur恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（2）假设在x轴上存在点0Qm（，），使得716QAQBuuuruuur恒成立．①当直线l的斜率不存在时，2(1,)2A，2(1,)2B，由于（227(1,)(1,)2216mmg，解得54m或34m；4.已知定点C(－1，0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．（1）若线段AB中点的横坐标是－12，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使MAMBuuuruuur为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则②.136①,0)53)(13(4362221224kkxxkkk由线段AB中点的横坐标是21-，得21221xx，解得33k都满足①所以直线AB的方程为013yx或013yx（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使MAMBuuuruuur为常数．（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x1＋x2＝－6k23k2＋1，x1x2＝3k2－53k2＋1．③所以MAMBuuuruuur＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2．将③代入，整理得MAMBuuuruuur＝(6m－1)k2－53k2＋1＋m2＝222114(2)(31)23331mkmmk＝m2＋2m－13－6m＋143(3k2＋1)．注意到MAMBuuuruuur是与k无关的常数，从而有6m+14=0，此时73m，此时49MAMBuuuruuur．（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为(1，23)、(1，23)，当73m时，也有49MAMBuuuruuur．综上，在x轴上存在定点7(,0)3M使MAMBuuuruuur为常数．5设椭圆C：12222byax(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2＝43y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e＝12，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若OM→·ON→＝－2，求直线l的方程；（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：|AB|2|MN|为定值．(1)解由题意知，椭圆的一个顶点为(0，3)，即b＝3，e＝ca＝12，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1．(2)解由题意可知，直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．由)1(13422xkyyx，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝4k2－123＋4k2＋k2(4k2－123＋4k2－8k23＋4k2＋1)＝－5k2－123＋4k2＝－2，解得k＝±2，故直线l的方程为y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)，即2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0．(3)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(2)可得|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k2[8k23＋4k22－44k2－123＋4k2]＝12k2＋13＋4k2，由kxyyx13422,消去y并整理得x2＝123＋4k2，|AB|＝1＋k2|x3－x4|＝431＋k23＋4k2，∴|AB|2|MN|＝481＋k23＋4k212k2＋13＋4k2＝4，为定值．
