专题椭圆中的定点定值问题VIP免费

实用文档标准椭圆中的定点定值问题1．已知椭圆C：22221xyab（0ab）的右焦点为F（1，0），且（1，22）在椭圆C上。（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得716QAQB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22222(11)()22a，即2a--3分∴2211b，椭圆C方程为2212xy．（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得716QAQB恒成立。当直线l的斜率不存在时，A（1，22），B（1，22），由于（521,42）·（521,42）=716，所以54m，下面证明54m时，716QAQB恒成立。当直线l的斜率为0时，A（2，0）B（2，0）则（524，0）?（524，0）=716，符合题意。当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A11,xy，B22,xy，由x=ty+1及2212xy得22(2)210tyty有0∴12122221,22tyyyytt；111xty，221xty∴112212125511(,)(,)()()4444xyxytytyyy=2(1)t121211()416yytyy=22222211212217(1)242162(2)1616tttttttt，综上所述：在x轴上存在点Q（54，0）使得716QAQB恒成立。2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆1T，2T都过点(0,2)M，且椭圆1T与2T的离心率均为22．（Ⅰ）求椭圆1T与椭圆2T的标准方程；（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为,kk的直线分别交1T，2T于点P，Q，当4kk时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（Ⅰ）22221,1422xyyx；（Ⅱ）直线MP的方程为2ykx，联立椭圆方程得：221422xyykx，消去y得22(21)420kxkx，则24221Pkxk，则点P的坐标为22242222:(,)2121kkPkk，同理可得点Q的坐标为：22222222:(,)22kkQkk，又4kk，则点Q为：22242822(,)8181kkkk，22222282222218121242428121PQkkkkkkkkkk，则直线PQ的方程为：222222142()21221kkyxkkk，即222222142()21221kkyxkkk,化简得122yxk，即当0x时，2y，故直线PQ过定点(0,2)．3．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（2）设直线AE方程为：，代入得，设E（xE，yE），F（xF，yF），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，yxMOPQ实用文档标准在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率，即直线EF的斜率为定值，其值为．4．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．（i）求?的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上．解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），?=4﹣=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，?=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）?+2k2?（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤?＜，综上可得，?的取值范围是[﹣6，]；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x0+2）=，直线OM的斜率为kOM==﹣，直线OM：y=﹣x，由得，即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．5．椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．解：（1）① 椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1...