1/301．什么是数学模型和数学建模？数学建模的方法和步骤？数学模型的主要特点以及分类。数学建模：利用数学方法解决实际问题的一种实践过程。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解和检验一种抽象模型，是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。这个数学结构：是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。2/303/302．椅子放稳问题§2.1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地?四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;?地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;?地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。?通过旋转的方式调整椅子的位置4/30模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来?椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD′C′B′A′用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置?四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定5/303．核军备竞赛的模型及分析，如乙安全线的性质及分析等，模型解释及应用以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的核威慑战略：?认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；?己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一枚核导弹。摧毁一枚导弹的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。模型假设图的模型y=f(x)~甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)~乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当x=0时y=y0，y0~乙方的威慑值xyy0xyy00xyxfyy00)(y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区甲安全区双方安全区P~平衡点(双方最少导弹数)乙安全线精细模型乙方残存率s~甲方一枚导弹攻击乙方一枚导弹，导弹未被摧毁的概率。sx枚导弹未摧毁，y–x枚导弹未被攻击。x
