旋转的一个性质的应用VIP免费

图3图2图1GFEDCABGOEHFDCBAGDFECBADBEAC图3图2图1GEFCDBAGEFDCBAFGECBAD旋转的一个性质的应用根据课本上给的旋转的定义和性质，我们不难得出、也不难证明旋转变换前后的图形有这样的一条性质：任意两条对应线段所在的直线的夹角中有一对角等于旋转角(旋转角小于180°).旋转角是180°时对应的线段平行或者在一条直线上。对应的线段所在的直线过旋转中心时这个性质的应用大家并不陌生（对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）。本文介绍的是对应的线段不过旋转中心时这一条性质的应用。例1、如图，将⊿ABC绕点C旋转40°得到⊿DCE顶点E恰好在AB上，∠BED+∠DBC=_______度。分析:由课本上给的旋转的性质有∠BCD=40°BC=DC，易得∠DBC=70°.借助于旋转的这条性质可得∠BED=40°,所以∠BED+∠DBC=110°.例2、（2008浙江义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在的直线的位置关系：(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在的直线的位置关系：（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形。请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的结论.分析：不管是哪一种情况，都有BC⊥CD，⊿BCG≌⊿DCE，将⊿BCG绕着点C顺时针旋转90°都能得到⊿DCE，图中线段BG也相应地绕点C顺时针90°得到线段DE，借助于旋转的这条性质很容易得到BG=DE且BG⊥DE.例3、已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°.按图1的位置,使点F在BC上,取DF的中点G，连接EG、CG.（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明．（2）将图中⊿BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(如图2),问（1）中点结论是否仍然成立?（3）将图(1)中⊿BEF绕B点转动任意角度(在0°～90°间)，再连接DF，取DF的中点G(如图3)，问（1）中点结论是否仍成立?QQ1C1D1N1NMPDBCA图2图1A1D1PB1CNOMANBCODPM图4MGFEDCAB分析:第(1)问只要说明B、E、D在一直线上．第（2）问可以延长EG交DC于H，证明⊿EFG≌⊿HDG，得到⊿CEH为等腰直角三角形即可．第（3）问我们可以借助于旋转的这条性质进行证明（如图4），将⊿BEC绕C顺时针旋转90°后得到⊿CDM，连接M、G，则有BE⊥DM，BE=DM，又因为BE⊥EF，BE=EF，所以EF∥DM，EF=DM，所以∠EFG=∠MDG，又因为GF=GD，所以有⊿EFG≌⊿MDG，得到GE=GM、∠EGF=∠MGD，从而有M、E、G在一直线上，再由⊿MCE为等腰直角三角形可以证得．例4、在边长为1的正方形ABCD的边AB上取点P,边BC上取点Q,边CD上取点M,边AD上取点N.如果AP+AN+CQ+CM=2,求证PM⊥QN.分析:直接证明PM⊥QN有困难,可设想将QN旋转90°成一新的直线，只需证明PM∥.将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°，线段QN变到，借助于旋转的这条性质可以得到QN⊥.因为AN=,CQ=,所以=AP+=AP+AN=2-(CM+CQ)=-（CM+）=又因为∥，所以四边形是平行四边形.故PM∥.因此PM⊥QN.例5、已知∠MON内有一定点P,试在OM、ON上分别找一点A和B，使⊿ABP为等腰直角三角形,其中PA=PB.分析:我们假设⊿ABP已经作出,作PC⊥OB，若将PB绕点P顺时针旋转90°,PB就到了PA处,此时直角三角形PCB就到了⊿PDA处.于是得到下面的作法.作法:如图1,作PC⊥ON，C为垂足,作PD⊥PC且PD=PC，再过D作ON的垂线交OM于A点,再作PB⊥PA，B在ON上,则⊿PAB即为所求.也可像图2一样在PC的右边作.此题仅从基本作图方法考虑解决起来比较困难,但借助于旋转的这条性质（确定A点的这一步运用的此性质）从旋转变换的角度出发就变得容易思考了.说明：前两题比较简单不用此性质也不难解决，第3题其实和2007年广州市中考题类似，用此性质解决问题要简单一些，后两题用此性质就容易多了。作者江苏海安南屏中学陈伯平联系电话13615225616