第一节角和弧度制、任意角的三角函数【考纲点击】1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考点梳理】一、任意角1．角的有关概念(1)角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线叫作角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点．2．角的分类任意角可按旋转方向分为___正角___、___负角___、__零角____.3．象限角第一象限角的集合{α|2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z}第二象限角的集合{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z}第三象限角的集合{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}第四象限角的集合{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}4.角的度量(1)角的度量制有：__角度____制，__弧度____制．(2)换算关系：1°＝____rad,1rad＝°.二、任意角的三角函数【考点自测】1.设集合A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于__(4)____.第1页，共5页三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么⑫__y__叫做α的正弦，记作sinα⑬__x__叫做α的余弦，记作cosα⑭____叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段_MP_为正弦线有向线段OM__为余弦线有向线段AT___为正切线(1){小于90°的角}(2){0°～90°的角}(3){第一象限的角}(4)以上都不对2．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是________.3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是1或4.4.－885°化成2kπ＋α(0≤α≤2π，k∈Z)的形式是－6π＋π.5．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于－4.6.若α为第三象限角，则y＝＋的值为_______0_____.【题型探究】题型一角的集合表示例1(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角．解析：(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．(2) θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．依题意0≤＋＜2π(k∈Z)⇒－≤k＜(k∈Z)．∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为，，.变式探究1(1)若角α的终边和函数y＝－|x|的图象重合，试写出角的集合；(2)若θ角的终边与168°角的终边相同，求在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角．解析：(1)由于y＝－|x|的图象是三、四象限的角平分线，故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝k·360°＋225°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}．(2)θ＝k·360°＋168°，k∈Z，＝k·120°＋56°，k∈Z.依题意得0≤k·120°＋56°＜360°，当k＝0,1,2时，k·120°＋56°在[0°，360°)内，所以＝56°，176°，296°.题型二弧长与扇形面积例2(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析：(1)设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是2r＋rθ.依题意，得2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)×°≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，∴扇形的面积为S＝r2θ＝(π－2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0＜r＜10)①扇形的面积S＝lr，将①代入，得S＝(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，所以当且仅当r＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝＝2.所以当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．变式探究2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长是_______.解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交AB于D.∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝＝，从而弧AB的长为l＝|α|·R＝.题型三已知角α所在象限，判断所在象限的问题例3若α是第二象限的角，试分别确定，的终边所在位置．解析：(1) k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°(k∈...
