浅谈导数的应用\公主岭市第三高级学数学组张鹤【摘要】导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知识的网络交汇处设计问题。因此,在教学中,要突出导数的应用。【关键词】导数;应用;函数;不等式导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。本文拟就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。1以导数概念为载体处理函数图象问题函数图象直观地反映了两个变量之间的变化规律,由于受作图的局限性,这种规律的揭示有时往往不尽人意.导数概念的建立拓展了应用图象解题的空间。例1:(2007浙江卷)设是函数f(x)的导函数,将y=f(x)+f′(x)和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(D)例2:(2005江西卷)已知函数y=xf′(x)的图象如右图所示(其中f′(x))是函数f(x)的导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象大致是(C)分析:由图象知,f′(1)=f′(-1)=0,所以x=±1是函数f(x)的极值点,又因为在(-1,0)上,f′(x)<0,在(0,1)上,f′(x)>0,因此在(-1,1)上,f(x)单调递减,故选C。2以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究,导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。例3:已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点,点B的坐标为(2,0),且f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.①求C的值.②若函数f(x)在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性,f(x)的图象上是否存在一点M,使得f(x)在点M的切线斜率为3b?若存在,求出M点的坐标.若不存在,说明理由.分析:①f′(x)=3x2+2bx+c, f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.∴x=0是f(x)的一个极值点,故f′(0)=0.∴c=0.②令f′(x)=0得3x2+2bx=0,x1=0,x2=因为f(x)在[0,2]和[4,5]有相反的单调性,∴f′(x)在[0,2]和[4,5]有相反的符号.故2≤-2b3≤4,-6≤b≤-3.假设存在点M(x0,y0)使得f(x)在点M的切线斜率为3b,则f′(x0)=3b.即3x02+2bx0-3b=0. △=4b2-4·3·(-3b)=4b(b+9),而f′(x0)=3b.∴△<0.故不存在点M(x0,y0)使得f(x)在点M的切线斜率为3b.3证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最值,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的路子,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导数方法运用的灵活性、普适性。例4:(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.(2)对于在(0,1)中的任一个常a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。只需证:ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x)=ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0将变形为ax022+x0+1ex0-1<0③要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值,满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna在0
-lna时,t′(x)>0t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0
