函数与方程结束压轴题命题区间(一)函数与方程函数零点个数的判断[典例]已知函数f(x)＝1－|x＋1|，x＜1，x2－4x＋2，x≥1，则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________．[解析]由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0，得f(x)＝12|x|－1，作出y＝f(x)，y＝12|x|－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2．[答案]2函数与方程结束[方法点拨]判定函数零点个数的3种方法解方程方程f(x)＝0根的个数即为函数y＝f(x)零点的个数定理法利用函数零点存在性定理及函数的性质判定图象法转化为求两函数图象交点的个数问题进行判断函数与方程结束1．(2017·山西四校联考)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1．则方程f(x)＝12log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是()A．5B．6C．7D．8解析：由题意画出y1＝f(x)，y2＝12log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5．[对点演练]答案：A函数与方程结束2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点个数为________．解析：设x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x．求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝x－3的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7，所以函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为{－2－7，1,3}，共3个．答案：3函数与方程结束[典例](1)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是()A．14，12B．(1,2)C．12，1D．(2,3)函数零点区间的确定函数与方程结束[解析]由函数图象可知0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，f′(x)＝2x＋a，所以g(x)＝lnx＋2x＋a，函数g(x)＝lnx＋2x＋a在定义域内单调递增，g12＝ln12＋1＋a＜0，g(1)＝ln1＋2＋a＞0，所以函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是12，1．[答案]C函数与方程结束(2)(2016·海口调研)已知曲线f(x)＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函数g(x)＝f(x)－|lnx|的两个零点，则()A．1＜x1x2＜eB．1e＜x1x2＜1C．2＜x1x2＜2eD．2e＜x1x2＜2函数与方程结束[解析]依题意得f′(x)＝－2ke－2x，f′(0)＝－2k＝－1，k＝12．在同一坐标系下画出函数y＝f(x)＝12e－2x与y＝|lnx|的大致图象如图所示，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有12e－2x1＝|lnx1|＝－lnx1∈12e－2，12，12e－2x2＝|lnx2|＝lnx2∈0，12e－2，12e－2x2－12e－2x1＝lnx2＋lnx1＝ln(x1x2)∈－12，0，于是有e－12＜x1x2＜e0，即1e＜x1x2＜1．[答案]B函数与方程结束[方法点拨]函数零点存在性定理是解决函数零点问题的主要依据，这个定理能够判断函数零点的存在，并且能找到零点所在的区间．在使用函数零点存在性定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号，无论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是此定理只能判断函数在一个区间上是否存在零点，而不能判断这个区间上零点的个数．函数与方程结束[对点演练]1．已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析： 2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，从而由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．答案：B函数与方程结束2．(2017·郑州质检)已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当0＜x≤1时，f(x)＝log12x，则方程f(x)－1＝0在(0,6)内的所有根之和为()A．8B．10C．12D．16解析： 奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函数，其周期T＝4．当0＜x≤1时，f(x)＝log12x，故f(x)在(0,6)上的函数图象如图所示．由...
