25.7相似多边形和图形的位似能力点1探索多边形相似的条件题型导引利用相似多边形的概念，我们可以通过寻找对应边成比例，对应角相等从而证明两个多边形相似．【例1】某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似(如图)，以给人一种和谐的感觉，这样的两个矩形是怎样画出来的？分析：如图所示，作对角线AC，在AC上取一点P，过P作EF∥BC，GH∥AB，显然△PAG∽△PCH，所以＝，这样，矩形AEPG和矩形CFPH就满足对应边成比例，对应角相等，即这两个矩形相似．解：如图．规律总结相似多边形的判定要满足两个条件：对应角相等，对应边成比例．变式训练如图，一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什么？分析：根据相似多边形的定义可以知道，当两个多边形所有的对应角相等，对应边成比例时，两个多边形相似．本题中因为两个多边形是矩形，所以对应角都相等，判断它们是否相似，只要确定对应边是否成比例即可．解：不相似．∵矩形ABCD中，AB＝1.5m，AD＝3m，镶在其外围的木质边框宽7.5cm＝0.075m，∴EF＝1.5＋2×0.075＝1.65(m)，EH＝3＋2×0.075＝3.15(m)，∴＝＝，＝＝.∵≠，∴矩形ABCD与矩形EFGH不相似．能力点2利用位似变换特征作图题型导引根据位似图形的特征，我们可以把一些图形按要求进行放大或缩小．【例2】已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2∶1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．分析：(1)根据网格结构，找出点A，B，C向下平移4个单位的对应点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；(2)延长BA到A2，使AA2＝AB，延长BC到C2，使CC2＝BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出C2点的坐标，利用△A2BC2所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，C1(2，－2)；(2)如图，△A2BC2即为所求，C2(1，0)，△A2BC2的面积：6×4－×2×6－×2×4－×2×4＝24－6－4－4＝24－14＝10.规律总结利用平移变换作图，以及在网格内求三角形的面积时，根据网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，网格内的三角形的面积通常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积得到．变式训练画一个三角形，使它与已知△ABC位似，且原三角形与所画的三角形的位似比为2∶1.分析：没有给出位似中心，当位似中心的位置不同时，所画的图形也不相同．解：画法1：如图(1)，在△ABC外任选一点O，连接OA，OB，OC，并且分别取OA，OB，OC的中点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，A′C′，得到△A′B′C′，则△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1∶2.(1)(2)(3)画法2：如图(2)，取AB的中点A′，过A′作A′C′∥AC，交BC于点C′，则△A′BC′与△ABC位似，且位似比为1∶2.画法3：如图(3)，延长AB到A′点，使BA′＝AB，延长CB到C′点，使BC′＝BC，连接A′C′，则△A′BC′与△ABC位似，且位似比为1∶2.
