21.2.1二次函数y＝ax2的图象和性质1．函数y＝x2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．2．抛物线y＝x2的开口向上；y轴(直线x＝0)是它的对称轴；对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，顶点的坐标为(0,0)；从图上看，抛物线y＝x2的顶点也是图象的最低点，也就是说，当x≠0时，对应的函数值均大于0；当x＝0时，对应的函数值y＝0是所有的函数值中最小的函数值．3．二次函数y＝ax2的图象与性质(1)当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是它的最低点，函数有最小值，在对称轴左侧(x＜0)，y随x的增大而减小；在对称轴右侧(x＞0)，y随x的增大而增大．(2)当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是它的最高点，函数有最大值，在对称轴左侧(x＜0)，y随x的增大而增大；在对称轴右侧(x＞0)，y随x的增大而减小．4．已知函数y＝ax2，(1)当a＞0时，对于一切x的值，总有函数值y≥0；当x＝0时，y有最小值，最小值是0.(2)当a＜0时，对于一切x的值，总有函数值y≤0；当x＝0时，y有最大值，最大值是0.5．抛物线y＝ax2的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．6．在同一坐标系中，作y＝x2，y＝－x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是()．A．抛物线的开口方向都是向上B．都有最小值C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点答案：D二次函数y＝ax2的性质【例题】已知函数y＝(m＋2)是关于x的二次函数．求：(1)满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？在此条件下，当x为何值时，y随x的增大而减小？分析：(1)要使y＝(m＋2)是关于x的二次函数，m应满足的条件是m2＋m－4＝2且m＋2≠0.(2)抛物线有最低点的条件是它的开口向上，即m＋2＞0.(3)函数有最大值的条件是抛物线的开口向下，即m＋2＜0.解：(1)由题意得解得∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2＞0，即m＞－2.∴m＝2.∵抛物线顶点为最低点，∴其坐标为(0,0)，当x＞0时，y随x的增大而增大．(3)若抛物线有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2＜0.∴m＜－2.∴m＝－3.∵抛物线最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0,0)，∴当m＝－3时，抛物线有最大值为0，在此条件下，当x＞0时，y随x的增大而减小．解此类有关二次函数的性质问题，最好能在草稿纸上画出抛物线的草图，以便利用数形结合思想进行观察和分析．针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第6题1．如图，在平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是()．A．y＝x2B．y＝x2C．y＝x2D．y＝x2解析：由题图知，抛物线经过点(0,0)和(2,3)，当x＝2时，只有选项D中的y＝×22＝3符合题意．故选D．答案：D2．若对任意实数x，二次函数y＝ax2的值总是非负数，则a的取值范围是()．A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．a＜0解析：二次函数y＝ax2的值总是非负数，说明抛物线开口向上，所以a＞0.答案：C3．抛物线①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2的开口大小的次序应为()．A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③解析：因为抛物线开口都向上，且3＞＞，根据a＞0时，a越大，抛物线的开口越小得①＜③＜②，故选C．答案：C4．二次函数y＝－x2，x1、x2对应的函数值分别为y1、y2，当x1＜x2＜0时，y1与y2的大小为________________________________________________________________________．解析：因为a＝－＜0，所以，当x＜0时，y随x的增大而增大，即x1＜x2＜0时，y1＜y2.答案：y1＜y25．已知函数y＝(m2－3m)的图象是抛物线，则函数的解析式为__________，抛物线的顶点坐标为__________，对称轴为__________，开口__________．解析：由函数图象是抛物线知，函数为二次函数，所以满足解得m＝－1.所以函数解析式为y＝4x2，顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口向上．答案：y＝4x2(0,0)y轴向上6．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．(1)求k的值；(2)求顶点坐标和对称轴．解：(1)由题意，得解得k＝2.(2)二次函数为y＝4x2，则顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴．
