3.2《圆的对称性》—垂径定理及其推论一、学习目标：1、通过直观演示了解圆的轴对称性。2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。二、知识链接1、什么是轴对称图形2、观察下列图形哪些是轴对称图形？圆的轴对称性圆是轴对称图形它有无数条对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴三、探究新知：)动手操作，观察猜想.操作：CD是以点O为圆心的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？猜想：AE=BE,DBAOCAD=BD,AC=BC(3)指导论证，引申结论.四、巩固新知：已知：在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB于点E，求证：AE=BE,AD=BD,AC=BC分析：直径CD所在直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴，把⊙O沿直径CD折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论。(3)指导论证，引申结论.小组讨论：下列命题是否正确，说明理由1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧。(3)指导论证，引申结论总结：五个条件(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧规律知二推三(4)多方练习，分层评价.例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径解：联结OA，作OE⊥AB于E，则OE=3cm,AE=BE∵AB=8cm∴AE=4cm在Rt中有OA===5cm∴⊙O的半径为5cm解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。(4)多方练习，分层评价.•0•0CCCCDDDDOCCDE五、运用新知：A组在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是()cmB组在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离为5,则圆o的直径是(C组若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,则CD＝()(4)多方练习，分层评价.例3如图已知⊙O的直径为4cm，弦AB=cm，求∠OAB的度数。你还有没有其它方法？练习：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BDD解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。(5)反思小结，布置作业.六、回顾反思：1、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。2、关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直角三角形的问题
