比例的基本性质与黄金分割【学习目标】1．理解比例的基本性质，知道黄金分割的定义，并会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题．【学习重点】比例基本性质．【学习难点】比例的基本性质及运用．情景导入生成问题旧知回顾：什么叫两个数的比？2与－3的比，－4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？两个数相除的商也叫两个数的比.＝－，＝－，＝，比值相等，可以说2，－3，－4，6成比例，写成2∶－3＝－4∶6.自学互研生成能力阅读教材P65～66页的内容，回答以下问题：什么叫两条线段的比？什么叫成比例线段？什么是比例中项？两条线段长度的比叫两条线段的比，记作或a∶b，在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段a、b的比等于另外两条线段c、d的比，即＝(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段．简称比例线段．其中a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项．如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a、b、c之间有a∶b＝b∶c，那么线段b叫做线段a、c的比例中项．范例1：已知四条线段a、b、c、d满足ad＝bc，那么下列比例式不成立的是(C)A.＝B.＝C.＝D.＝范例2：如果线段a＝32cm，b＝8cm，那么a和b的比例中项是(C)A．20cmB．18cmC．16cmD．14cm解：设比例中项为c，由比例中项定义得：a∶c＝c∶d，c2＝ab＝32×8，c＝16，选C.阅读教材P66～67页的内容，回答以下问题：1.比例的基本性质是什么？解：如果＝，那么ad＝bc(b、d≠0)，反之也成立，即如果ad＝bc，那么＝(b、d≠0)．2．什么是合比性质？什么是等比性质，如何证明？解：(1)合比性质，如果＝，那么＝(b、d≠0)，证明方法是在＝两边加上1，得＝；(2)等比性质：如果＝＝……＝，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么＝.证明：设＝＝…＝＝k，得a1＝b1k，a2＝b2k，…，an＝bnk，代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质．典例1：若＝，则＝；若x∶y∶z＝4∶5∶7，则＝1．解：＝，由合比性质得＝＝；由x∶y∶z＝4∶5∶7，设＝＝＝k.可得＝k，＝k，＝k，∴x＝4k，y＝5k，z＝7k，代入求得＝1.典例2：已知k＝＝＝，则一次函数y＝kx＋k一定经过第三象限．解：当a＋b＋c≠0时，因为k＝＝＝，由等比性质得＝k，∴k＝2.当a＋b＋c＝0，此处不可用等比性质，但a＋b＝－c，代入可得k＝＝－1，∴k＝2或－1，直线y＝2x＋2或y＝－x－1都经过第三象限．阅读教材P68～69页的内容，回答以下问题：例3中比例中项是哪一条线段？什么是黄金分割？如何得到黄金分割比值，它的近似值是多少？解：比例中项为线段AP.把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割为黄金分割．设AP＝x，则PB＝a－x，由题意得：a∶x＝x∶(a－x)，即x2＋ax－a2＝0，解得：x＝a，∵x＞0，AP＝x＝a，即＝≈0.618.范例：已知线段AB＝6，C为AB的黄金分割点，则AC－BC＝6－12或12－6．解：分AC＞BC或AC＜BC两种情况：AC－BC＝6×－6×(1－)＝6－12或AC－BC＝6×(1－)－6×＝12－6.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一比例线段的基本概念知识模块二比例的基本性质及合比、等比性质知识模块三黄金分割检测反馈达成目标1．(1)若＝，则＝；(2)已知＝，则＝．2．已知＝＝，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c＝14．3．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(A)A．12.36cmB．13.6cmC．32.9cmD．7.54cm课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________
