一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1．理解掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系；2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数；3．会求已知方程的两根的倒数和与平方和；4．在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法．【学习重点】根与系数的关系的运用．【学习难点】由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点．情景导入生成问题1．一元二次方程的一般形式是什么？2．一元二次方程的求根公式是什么？3．一元二次方程的根的情况怎样确定？自学互研生成能力阅读教材P33～P35的内容．填表，观察、猜想方程x1，x2x1＋x2x1x2x2－2x＋1＝01，121x2＋3x－10＝02，－5－3－10x2＋5x＋4＝0－1，－4－54问题：你发现什么规律？(1)用语言叙述你发现的规律；(2)x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律．归纳证明：如果关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，则有：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为x1＝，x2＝，所以x1＋x2＝＋＝－p，x1·x2＝·＝＝q.升华问题：已知方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，求证：x1＋x2＝－，x1x2＝.证明：方程两边同时除以a，得：x2＋x＋x＝0，由前面得到的结论知：x1＋x2＝－，x1x2＝.归纳应用：1.一元二次方程根与系数的关系前提条件是方程有实数根，所以根与系数关系通常和方程的判别式结合使用．2．能够利用完全平方公式对代数式进行灵活变形，是学习使用根与系数关系的必要条件．范例1：口答下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－2x－15＝0；(2)x2－6x＋4＝0；(3)2x2＋3x－5＝0；(4)3x2－7x＝0；(5)2x2＝5.解：(1)x1＋x2＝2，x1·x2＝－15；(2)x1＋x2＝6，x1·x2＝4；(3)x1＋x2＝－，x1·x1＝－；(4)x1＋x2＝；x1·x2＝0；(5)x1＋x2＝0，x1·x2＝－范例2：若α、β是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，求＋的值．解：∵α＋β＝2，α·β＝－1，∴＋＝＝＝－2.仿例：若α是一元二次方程x2－2x－1＝0的一根，β是一元二次方程x2－2x－1＝0的一根，求＋的值．解：①当α＝β时，原式＝1＋1＝2；②当α≠β时，α＋β＝2，αβ＝－1，∴原式＝＝＝＝－6，∴＋的值为2或－6.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一一元二次方程的根与系数的关系知识模块二一元二次方程的根与系数的关系的应用检测反馈达成目标1．已知x1、x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根，则x1·x2等于(C)A．－4B．－1C．1D．42．若α、β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2＝(C)A．－8B．32C．16D．403．已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－11a－b＋5的值为__23__．4．方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x＋x＝4，则k的值为__1__．5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)m＝6；(2)17课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________
