5相似三角形的判定名师导学典例分析例1如图19－5－1所示,P是Rt△ABC斜边BC上异于B,C的一点,过P点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有()A
4条思路分析：依据相似三角形的判定定理,可知过BC上异于B、C的点P,只能作AB,AC,BC三边的垂线,所截得的三角形必与△ABC相似,这样的直线可作三条,故选C
答案：C例2如图19－5－2所不,在两直角二角形中,∠ACB=∠ADC=90°,AC=3,AD=1,试求AB的长为多少时,这两个直角三角形相似
思路分析：由已知条件可知,Rt△ABC和Rt△ACD中,除直角顶点C,D外,另两组顶点不能确定对应关系,所以解答时应分类讨论
(1)△ACB～△ADC(2)△ACB～△CDA
解：当Rt△ACB～Rt△ADC时,得,∴,∴AB=9
当Rt△ACB～Rt△CDA时,得,在Rt△ACD中,AC=3,AD=1,∴CD=,∴,∴
∴当AB=9或时,两直角三角形相似
例3如图19－5－3所示,三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=2BC,将纸片折叠使点A总是落在BC边上,记为点D,EF是折痕
问：在BC边上是否存在一点D,使以D、E、F为顶点的三角形和以D、E、B为顶点的三角形相似
若存在,求出相似比；若不存在,请说明理由
思路分析：假设存在这样的点D,使以D、E、F为顶点的三角形与以D,E,B为顶点的三角形相似
因为∠EDF=∠A=30°,∠B=60°,这时∠BDE和∠BED中必有一个等于30°
如果这两个角中有一个能等于30°,则假设成立,即这样的点D存在,否则这样的点D不存在
理由如下：在Rt△ABC中,∵AB=2BC,∴∠A=30°,∴∠B=90°－30°=60°
因为∠EDF=30°,如果△DEF和△BDE相似,则∠BDE和∠BED必须有一个等于
