秋九年级数学上册 28.4 垂径定理课堂导学案 （新版）冀教版-（新版）冀教版初中九年级上册数学学案VIP免费

28.4垂径定理综合点利用垂径定理解决实际问题应用概述垂径定理及其推论是圆的重要性质，是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系的重要依据，常利用弦的一半，弦心距，半径构成满足垂径定理的基本图形，利用垂径定理解决实际问题．【例题】某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶差距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？分析：本题是垂径定理在解决实际问题时的典型应用，常作的辅助线是连接弧的中点和圆心，连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解．解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为D，交AB于点C．由垂径定理，得OC平分弦AB和AB，AD＝AB＝30cm.设⊙O半径为r，因为CD＝10，所以OD＝OC－CD＝r－10，由勾股定理，得AD2＋OD2＝OA2，即302＋(r－10)2＝r2，解得r＝50(cm)．∴2r＝2×50＝100(cm)．答：修理人员应准备内径为100cm的管道．规律总结连半径，应用垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解．迁移训练1．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是()A．16B．10C．8D．62．绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为()A．4mB．5mC．6mD．8m分析解答1．解析：在Rt△BOC中，OB＝10，OC＝6，由勾股定理得BC＝＝＝8，由垂径定理可知AB＝2CB＝2×8＝16.答案：A2．解析：连接OA．∵桥拱半径OC为5m，∴OA＝5m.∵CD＝8m，∴OD＝8－5＝3(m)，∴AD＝＝＝4(m)．由垂径定理可知AB＝2AD＝2×4＝8(m)．答案：D易错点1对弦的概念理解不清易错指津在利用定理求弦长时，正确理解弦的概念，不能误认为弦心距是弦．【例1】如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，OP＝3cm，且AB⊥CD于点P，试求出经过点P的最长的弦和最短的弦．常见错解：过点P的最长的弦的长度为10cm(即直径AB的长)，过点P最短的弦的长度为3cm(即OP的长度)．正确解答：过点P的最长的弦的长度为10cm(即直径AB的长)，过点P最短的弦的长度为8cm，即CD＝2CP＝2＝8(cm)．误区分析经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径，最短的弦是过该点且与过该点的半径相垂直的弦，此时不能误认为这点与圆心的连线是最短的弦．易错点2在解决圆的有关计算时，因考虑不周而漏解易错指津当在题目中没有给出图形时，需要我们自己画出图形，要画出所有符合条件的图形，这时就需要分类讨论．在分析问题时，不仅要从条件方面进行正方向思考，有时还要从结论方面进行逆向思考，对所有的情况逐一进行分析、探讨，并做到“不重复”、“不遗漏”，保证分类讨论的科学性与合理性，否则就会漏解．【例2】⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝10cm，CD＝24cm，求AB与CD间的距离．常见错解：如图②，过O点作ON⊥AB于N，交CD于M，连接OB，OD.因为AB∥CD，所以OM⊥CD，所以AN＝BN＝AB＝5，CM＝DM＝CD＝12.在Rt△BON中，ON＝＝＝12.在Rt△DOM中，OM＝＝＝5.所以MN＝ON－OM＝12－5＝7(cm)．正确解答：如图①②，过O点作ON⊥AB于N，(或延长NO)交CD于点M，连接OB，OD.因为AB∥CD，所以OM⊥CD，所以AN＝BN＝AB＝5，CM＝DM＝CD＝12.在Rt△BON中，ON＝＝＝12；在Rt△DOM中，OM＝＝＝5.(1)当两弦在圆心两侧时，如图①，此时MN＝OM＋ON＝17(cm)．(2)当两弦在圆心同侧时，如图②，此时MN＝ON－OM＝12－5＝7(cm)．答：两平行弦AB，CD之间的距离为17cm或7cm.误区分析因为两弦的位置不确定，所以要分类讨论，画出符合条件的两种图形，再作解答．进行分类讨论时，要注意：一是要在同一条件下进行，二是不能重复出现，三是必须符合题中的实际要求．产生错解的原因在于考虑问题不全面，本题有两种情况，错解只考虑AB，CD在圆心O同侧的情况，而忽略了另一种情况，即AB，CD在圆心O的两侧的情况．