反比例函数图象与图形面积于志洪如图1，对于双曲线（k≠0）上任一点P（x0，y0），恒有x0y0=k（k为定值）．进而可知，过反比例函数图象上任一点P（x0，y0）作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，O为坐标原点，则PA=BO=|y0|，PB=OA=|x0|．从而S△OPA=下面我们通过几个实例，说明反比例函数的上述性质在解题中的应用．一、反比例函数图象与三角形面积例1（2006年山东省滨州市）如图2，已知M（2，1）、N（2，6）两点，反比例函数的图象与线段MN相交，过反比例函数图象上任意一点P作y轴的垂线PG，G为垂足，则△OPG的面积S的取值范围是．分析：本题的关键是先求出系数k的变化范围，然后由k的变化范围来确定面积S的取值范围．根据题意，图象必与线段MN相交．因为MN平行于y轴，故当双曲线过点N时，k的值最大；当双曲线过点M时，k的值最小．解：当双曲线过点M（2，1）时，k=2；当双曲线过点N（2，6）时，k=12，所以k的变化范围是2≤k≤12．根据面积公式，可知△OPG的面积S的取值范围是1≤S≤6．例2（2005年浙江省课改实验区）两个反比例函数在第一象限内的图象如图3所示，点P1，P2，P3，…，P2005在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005=．分析：本题是一道综合性试题，要求学生能够运用反比例函数的性质把两个函数结合起来，进而求出函数的值．解：易知点P2005的坐标为（x2005，2×2005－1），又点Q2005的坐标为（x2005，y2005），分别对两个反比例函数运用性质，得两式相除，得所以y2005=2004．5．二、反比例函数图象与矩形面积例3（2006年广西南宁市课改实验区）如图4所示的是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线的表达式分别为，，现用4根钢条固定这四条曲线，已知OF=OH=2米，这种钢条加工成矩形成品按面积计算，每平方米15元．请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？分析：在如图4所示的反比例函数图象中，矩形AEOH的面积等于，所以S矩形ABCD=，由此即可求解．解：因为A为的图象上的任一点，所以故4×6=24，所以总费用为15×24=360（元）．答：所需钢条一共花360元．例4（2006年江苏省南通市）某电子游戏中，有一个魔幻长方形，它的长与宽都可任意伸长与缩短，但面积保持不变，都是6．若将此长方形放在如图5所示的位置，并且长方形在变化过程中OA、OB始终在x轴、y轴上，则在此变化过程中，所有的点C组成怎样的线？为什么？分析：设点C的坐标为C（x，y），则．因为在变化过程中长方形的面积不变，所以BC·AC=6．故x·（－y）=6，即xy=－6．解：在变化过程中，所有的点C组成双曲线的一个分支．理由如下：设动点C的坐标为C（x，y）．因为点C在第四象限，则x>0，y<0，所以BC==x，AC==－y．因为BC·AC=6，所以x·（－y）=6，xy=－6，所以．这就是说，在变化过程中，所有的点C组成双曲线在第四象限的一个分支．评注：本题实际上是“双曲线的面积不变性”的逆过程．它告诉我们，由与本例相类似的长方形或三角形的面积不变可推知双曲线及其解析式．三、反比例函数图象与梯形面积例5（2007年湖北省荆州市）如图6，D为反比例函数：（k<0）图象上一点．过D作DC⊥y轴于C，DE⊥x轴于E，一次函数与的图象都过C点，与x轴分别交于A、B两点．若梯形DCAE的面积为4，求k的值．解析：先分析两个一次函数的图象．因为一次函数的图象交x轴、y轴分别于点B、C，所以可把y=0代入得解得，从而B点坐标为（，0），把x=0代入得y=2，从而C点坐标为（0，2），所以OB=，OC=2；又因为一次函数y=－x+m的图象也经过C（0，2），所以可把C（0，2）代入y=－x+m，得m=2，从而一次函数y=－x+m即为，又因为它的图象交x轴于点A，所以可把y=0代入得从而A点坐标为（2，0），所以OA=2．接着从条件“梯形DCAE的面积为4”出发着手建立关于k的方程，若直接用梯形面积公式计算，必须用k的代数式表示线段DC、EA的长，但由于点D的坐标未知，所以线段DC、EA的长不易表示出，所以考虑把梯形面积...
