双曲线的简单几何性质一．基本概念1双曲线定义：①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（21212FFaPFPF（a为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线2、双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122AAa，虚轴长2b,焦距122FFc⑵顶点到焦点的距离：11AF22AFca，12AF21AFac⑶顶点到准线的距离：21122aAKAKac；21221aAKAKac⑷焦点到准线的距离：2211221221aaFKFKcFKFKccc或⑸两准线间的距离:2122aKKc⑹21FPF中结合定义aPFPF221与余弦定理21cosPFF，将有关线段1PF、2PF、21FF和角结合起来，12212cot2PFFFPFSb⑺离心率：212112221211221PFPFAFAFcbePMPMAKAKaa∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b⑼通径的长是ab22，焦准距2bc，焦参数2ba（通径长的一半）其中222bacaPFPF2213双曲线标准方程的两种形式：①22ax－22by=1，c=22ba，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）②22ay－22bx=1，c=22ba，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）4、双曲线的性质：22ax－22by=1（a＞0，b＞0）⑴范围：|x|≥a，y∈R⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）⑷渐近线：①若双曲线方程为12222byax渐近线方程02222byaxxaby②若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax③若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）④特别地当时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；y=abx，y=－abx⑸准线：l1：x=－ca2，l2：x=ca2，两准线之距为2122aKKc⑹焦半径：21()aPFexexac，（点P在双曲线的右支上xa）；22()aPFexexac，（点P在双曲线的右支上xa）；当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax)0(⑻与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短，当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。⑽双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x轴的弦长）为22ab。⑾处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。⑿注意两类特殊的双曲线一类是等轴双曲线：其主要性质有：ab，离心率2e，两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。另一类是共轭双曲线：其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。二．例题选讲【例1】若00(,)Mxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的右支上时，证明：10||MFexa，20||MFexa变式1：若00(,)Mxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的左支上时，证明：10||MFexa,20||MFexa变式2：（2010江西理）点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则=解：a==6,,变式2：（2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________解：，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。变式3：（09全国Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为()A．B.C.D.解：设双曲线的右准线为,过分别作于,于,,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角,由双曲线的第二定义有.又.【例2】双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，12FPF，求证：（1）2122||||1cosbPFPF；（2）双曲线的焦点角形的面积为122t2FPFSbco.变式：（2010全国1文）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，1260FPF，则(A)2(B)4(C)6(D)8解1：由余弦定理得cos∠P=4解2：由焦点三角形面积公式得：，4变式2：（2010全国1理）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，1260FPF，则P到x轴的距离为(A)(B)(C)(D)【例3】设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端...
