文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质：设若双曲线方程为2222xy1ab，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：性质1、若12FPF,则122FPFSbcot2V；特别地，当12FPF90o时，有122FPFSbV。22212121222121212122212122212221222PFPFcos|PF||PF||FF|2PFPFcos(|PF||PF|)2|PF||PF||FF|2PFPFcos(2a)2|PF||PF|(2c)2PFPF(cos1)4(ac)bbPFPF21cossin2,12FPF121S|PF||PF|sin2V22b2sincos222sin22bcot2易得90o时，有122FPFSbV性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。证明：设双曲线2222xy1ab的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，PF2于点A,B,C，双曲线的两个顶点为A1,A2121212|PF||PF||CF||BF||AF||AF|12|PF||PF|2aQ，12|AF||AF|2a,1212AAFFAxA,AQ在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质3、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则|BA|e|AP|证明：由角平分线性质得12121212|FB||FB||FB||FB||BA|2ce|AP||FP||FP||FP||FP|2a性质4、双曲线的焦点三角形PF1F2中，1221PFF,PFF,当点P在双曲线右支上时，有e1tancot;22e1当点P在双曲线左支上时，有e1cottan22e1证明：由正弦定理知2112|FP||FP||FF|sinsinsin()由等比定理，上式转化为2112|FP||FP||FF|sinsinsin()2a2csinsinsin()2sincossinsincoscossincsin()2222222asinsin2cossinsinsincoscossin2222222分子分母同除以cossin22，得tancot1e122etancot22e1tancot122
