习题22.1把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。(1)()rect(2)nfxxn(2)()tri(2)ngxxn2.2证明下列傅里叶变换关系式：(1){rect()rect()}sinc()sinc()Fxy;(2)22{()()}sinc()sinc()Fxy;(3){1}(,)F;(4)11{sgn()sgn()}iπiπFxy;(5){(sin)}Fnnx;(6)222π()/exyaF。2.3求x和(2)xfx的傅里叶变换。2.4求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。()tri(1)tri(H()rect(/3)recG2.5证明下列傅里叶变换定理：(1)在所在(,)fxy连续的点上11{(,)}{(,)}(,)FFfxyFFfxyfxy；(2){(,)(,){(,)}*((,)}FfxyhxyFfxyFgxy。2.6证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：(1)若0()()rfrrr，则000{()}2πJ(2π)rBfrrr;(2)若1ar时()1rfr，而在其他地方为零，则11J(2π)J(2π){()}raaBfr;(3)若{()}()rBfrF，则21{()}rBfraa;(4)22ππ{e}erB2.7设(,)gr在极坐标中可分离变量。证明若i(,)()emrfrfr，则：i{(,)}(i)eH{()}mmmrFfrfr其中H{}m为m阶汉克尔变换：0{()}2π()J(2π)dmrrmHfrrfrrr。而(,)空间频率中的极坐标。(提示：isinieJ()eaxkxkka)2.8计算下列各式的一维卷积。(1)1rect*(23)2xx(2)3rect*(4)*(1)2xxx(3)1rect*comb()2xx(4)πsinrect()2xx2.9试用卷积定理计算下列各式。(1)sinc()*sinc()xx(2){sinc()sinc(2)}Fxx2.10用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布0()2cos(2π)fxx扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。2.11利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。2.12计算下面函数的相关。(1)1rect2x★1rect2x(2)tri21x★tri21x2.13应用傅里叶定理求下面积分。(1)2πecos(2π)dxaxx(2)2sinc()sin(π)dxxx2.14求函数()rect()fxx和()tri()fxx的一阶和二阶导数。2.15试求下图所示函数的一维自相关。2.16试计算函数()rect(3)fxx的一阶矩。2.17证明实函数(,)fxy的自相关是实的偶函数，即：(,)(,)ffffRxyRxy。2.18求下列广义函数的傅里叶变换。(1)step()x(2)sgn()x(3)0sin(2π)x2.19求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。(1)()tri(1)tri(1)Hxxx(2)()rect(/3)rect()Gxxx2.20表达式(,)(,)*combcombxypxygxyXY定义了一个周期函数，它在x方向上的周期为X，它在y方向上的周期为Y。(a)证明p的傅里叶变换可以写为：(,),,nmnmnmPGXYXY其中G是g的傅里叶变换。(b)当(,)rect2rect2xygxyXY时，画出函数(,)pxy的图形，并求出对应的傅里叶变换(,)P。习题33.1设在一线性系统上加一个正弦输入：(,)cos[2π()]gxyxy，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。3.2证明零阶贝塞尔函数002J(2π)r是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征值是什么？3.3傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问：(a)这个系统是线性的吗？(b)你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？3.4某一成像系统的输入是复数值的物场分布o(,)Uxy，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分布i(,)Uxy。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间||xB，||yB之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体o(,)Uxy，它与真实物体oU产生完全一样的像iU，并且等产供效物体的场分布可写成：o0(,)(,)sinc(2)sinc(2)dd,22XYnmXYnmUxyUnBmBxyBB3.5定义：1(,)dd(0,0)xyfxyxyf,1(,)dd(0,0)FF分别为原函数(,)fxy及其频谱函数(,)F的“等效面积”和“等效带宽”，试证明：1xy上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。3.6已知线性不变系统的输入为：()comb()fxx。系统的传递函数为rect(/)b。当1b和3b时，求系统的输出()gx，并画出函数及其频谱。3.7对一个线性不变系统，脉冲响应为：()7sinc(7)hxx用频率域方法对下列的每一个输入()ifx，求其输出()igx(必要时，可取合理近似)：(1)1()cos4πfxx(2)2()cos(4π)rect(/75)fxxx(3)3()[1cos(8π)]rect(/75)fxxx(4)4()comb()*rect(2)fxxx3.8给定正...
