平行线判定和性质一、重点和难点:重点:平行线的概念、平行公理、平行线的判定和平行线的性质。难点:①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。二、例题:这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念,关键是把握住这些角的基本图形特征,有时还需添加必要的辅助线,用以突出基本图形的特征。上述类型题目大致可分为两大类。一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”,即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。另一类题目主要是“由角定线”,也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行,解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。例1.已知如图,指出下列推理中的错误,并加以改正。(1) ∠1和∠2是内错角,∴∠1=∠2,(2) AD//BC,∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)(3) ∠1=∠2,∴AB//CD(两直线平行,内错角相等)分析:根据“三线八角”的概念,对(1),(2)可从内错角的条件入手;对(3)考虑平行线的判定和性质。解:(1)因为没有直线CD//AB的条件,不能得出内错角∠1,∠2相等的结论。(2)因为∠1,∠2不是AD,BC被AC所截得的内错角,所以得不出∠1=∠2的结论,应改为: CD//AB,∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)(3)理由填错了,应改为: ∠1=∠2,∴CD//AB(内错角相等,两直线平行)例2.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,试问EF是否与GH平行?分析:要判断EF与GH是否平行,只要能找到与EF,GH有关的一对角(同位,内错,同旁内角都可以)相等或互补即可。解: ∠1=∠2(已知)又 ∠CGE=∠2(对顶角相等)∴∠1=∠CGE(等量代换)又 ∠3=∠4(已知)∴∠3+∠1=∠4+∠CGE(等量加等量,其和相等)即∠MEF=∠EGH,∴EF//GH(同位角相等,两直线平行)。说明:本题解答过程就是一种推理过程,每一步因果关系分明。由因导果的依据在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。例3.如图写出能使AB//CD成立的各种题设。分析:应先找和AB,CD这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八角”来判定AB//CD。解:使AB//CD成立的题设有:(1)根据同位角相等,判定两直线平行有:∠EAB=∠EDC,∠FDC=∠FAB(2)根据内错角相等,判定两直线平行有:∠3=∠4或∠7=∠8。(3)根据同旁内角互补,判定两直线平行有:∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°。例4.已知如图,AB//CD,∠1=∠3,求证:AC//BD。分析:因为本题是判定两条直线平行的,应选用平行线的判定,应从给定的条件中去寻找角的关系,因为AB//CD,所以可知∠1=∠2,又因为∠1=∠3,可推出∠2=∠3,能判定AB与CD平行。证明: AB//CD(已知)∴∠1=∠2(两直线平行内错角相等)又 ∠1=∠3(已知)∴∠2=∠3(等量代换)∴AC//BD(同位角相等,两直线平行)。例5.已知如图,AB//CD,AC//BD,求证:∠1=∠3。分析:因为∠1和∠3的位置不能构成同位角或内错角,也不是同旁内角,因此不可能利用题设中的平行直线关系,经过一次推理得到结论。由图形中∠1与∠2是内错角位置。而∠2与∠3是同位角位置,而∠1与∠3都与∠2有关,由已知条件中AB//CD,推出∠1=∠2,AC//BD又推出∠2=∠3。通过等角进行转化。证明: AB//CD(已知)∴∠1=∠2(两直线平行内错角相等)又 AC//BD(已知)∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等)∴∠1=∠3(等量代换)例6.已知如图∠1=∠2,BD平分∠ABC,求证:AB//CD证明: BD平分∠ABC(已知)∴∠2=∠3(角平分线定义) ∠1=∠2(已知)∴∠1=∠3(等量代换)∴AB//CD(内错角相等两直线平行)。例7.已知如图,AB//CD,∠1=∠2,求证:BD平分∠ABC。证明: AB//CD(已知)∴∠1=∠3(两直线平行内错角相等)又 ∠1=∠2(已知)∴∠2=∠3(等量代换)∴BD平分∠ABC(角平分线定义)说明:上面的例4和例5,例6和例7都是同一个图形中将已知条件和求证的结论适当调换,可培养灵活运用知识的能力。例8.已知如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD平分∠BDF,求证:BC平分∠DBE。分析:只要求得∠EBC=∠CBD,...