平行线判定和性质一、重点和难点：重点：平行线的概念、平行公理、平行线的判定和平行线的性质。难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。二、例题：这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。上述类型题目大致可分为两大类。一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。例1．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。（1） ∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，（2） AD//BC，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）（3） ∠1=∠2，∴AB//CD（两直线平行，内错角相等）分析：根据“三线八角”的概念，对（1），（2）可从内错角的条件入手；对（3）考虑平行线的判定和性质。解：（1）因为没有直线CD//AB的条件，不能得出内错角∠1，∠2相等的结论。（2）因为∠1，∠2不是AD，BC被AC所截得的内错角，所以得不出∠1=∠2的结论，应改为： CD//AB，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）（3）理由填错了，应改为： ∠１＝∠2，∴CD//AB（内错角相等，两直线平行）例2．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？分析：要判断EF与GH是否平行，只要能找到与EF，GH有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。解： ∠1=∠2（已知）又 ∠CGE=∠2（对顶角相等）∴∠1=∠CGE（等量代换）又 ∠3=∠4（已知）∴∠3+∠1=∠4+∠CGE（等量加等量，其和相等）即∠MEF=∠EGH，∴EF//GH（同位角相等，两直线平行）。说明：本题解答过程就是一种推理过程，每一步因果关系分明。由因导果的依据在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。例3．如图写出能使AB//CD成立的各种题设。分析：应先找和AB，CD这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八角”来判定AB//CD。解：使AB//CD成立的题设有：（1）根据同位角相等，判定两直线平行有：∠EAB=∠EDC，∠FDC=∠FAB（2）根据内错角相等，判定两直线平行有：∠3=∠4或∠7=∠8。（3）根据同旁内角互补，判定两直线平行有：∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°。例4．已知如图，AB//CD，∠1=∠3，求证：AC//BD。分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，应从给定的条件中去寻找角的关系，因为AB//CD，所以可知∠1=∠2，又因为∠1=∠3，可推出∠2=∠3，能判定AB与CD平行。证明： AB//CD（已知）∴∠1=∠2（两直线平行内错角相等）又 ∠1=∠3（已知）∴∠2=∠3（等量代换）∴AC//BD（同位角相等，两直线平行）。例5．已知如图，AB//CD，AC//BD，求证：∠1=∠3。分析：因为∠1和∠3的位置不能构成同位角或内错角，也不是同旁内角，因此不可能利用题设中的平行直线关系，经过一次推理得到结论。由图形中∠1与∠2是内错角位置。而∠2与∠3是同位角位置，而∠1与∠3都与∠2有关，由已知条件中AB//CD，推出∠1=∠2，AC//BD又推出∠2=∠3。通过等角进行转化。证明： AB//CD（已知）∴∠1=∠2（两直线平行内错角相等）又 AC//BD（已知）∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）∴∠1=∠3（等量代换）例6．已知如图∠1=∠2，BD平分∠ABC，求证：AB//CD证明： BD平分∠ABC（已知）∴∠2=∠3（角平分线定义） ∠1=∠2（已知）∴∠1=∠3（等量代换）∴AB//CD（内错角相等两直线平行）。例7．已知如图，AB//CD，∠1=∠2，求证：BD平分∠ABC。证明： AB//CD（已知）∴∠1=∠3（两直线平行内错角相等）又 ∠1=∠2（已知）∴∠2=∠3（等量代换）∴BD平分∠ABC（角平分线定义）说明：上面的例4和例5，例6和例7都是同一个图形中将已知条件和求证的结论适当调换，可培养灵活运用知识的能力。例8．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。分析：只要求得∠EBC=∠CBD，...
