双曲线及其性质探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点双曲线的定义及标准方程了解双曲线的定义、几何性质和标准方程,知道它的简单几何性质2019课标全国Ⅲ,10,5分双曲线的定义及双曲线的标准方程—★★★2018课标全国Ⅱ,6,5分双曲线的渐近线方程—双曲线的几何性质2019课标全国Ⅱ,12,5分双曲线的离心率圆的性质直线与双曲线的位置关系2019课标全国Ⅰ,10,5分双曲线的离心率同角三角函数的基本关系式分析解读从近几年的高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和几何性质是解决双曲线问题的关键.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及对数形结合思想和转化与化归思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点一双曲线的定义及标准方程1.(2019安徽合肥一模,3)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为4,一条渐近线为y=12x,则双曲线C的方程为()A.x216-y24=1B.x24-y216=1C.x264-y216=1D.x2-y24=1答案A2.(2019四川成都外国语学校二诊,8)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x=0的夹角为30°,若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为8❑√3,则双曲线C的标准方程为()A.x24-y212=1B.x24-y28=1C.x212-y24=1D.x28-y24=1答案A3.已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.6B.8C.10D.12答案C考点二双曲线的几何性质1.(2019福建泉州五中月考,6)已知双曲线的方程为x24-y29=1,则下列关于双曲线的说法正确的是()A.虚轴长为4B.焦距为2❑√5C.离心率为❑√133D.渐近线方程为3x±2y=0答案D2.(2019课标全国Ⅱ,12,5分)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.❑√2B.❑√3C.2D.❑√5答案A3.(2019河南鹤壁高中4月模拟,5)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C右支上一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且∠F1PF2=60°,则双曲线C的渐近线方程是()A.❑√3x±y=0B.2x±❑√7y=0C.❑√3x±2y=0D.2x±❑√3y=0答案C考点三直线与双曲线的位置关系1.(2019河北石家庄一模,14)已知双曲线C:x2-4y2=1,过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点,则直线l的方程为.答案y=±12(x-2)2.若双曲线E:x2a2-y2=1(a>0)的离心率为❑√2,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.(1)求k的取值范围;(2)若|AB|=6❑√3,求k的值.答案(1)由{ca=❑√2,a2=c2-1得{a2=1,c2=2,故双曲线方程为x2-y2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由{y=kx-1,x2-y2=1得(1-k2)x2+2kx-2=0①. 直线与双曲线右支交于A,B两点,∴{1-k2≠0,Δ=(2k)2+8(1-k2)>0,x1+x2=-2k1-k2>0,x1x2=-21-k2>0,解得10)的右焦点,过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,四边形OAFB为菱形,圆x2+y2=c2(c2=a2+b2)与E在第一象限的交点是P,且|PF|=❑√7-1,则双曲线E的方程是()A.x26-y22=1B.x22-y26=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1答案D3.设动圆C与两圆C1:(x+❑√5)2+y2=4,C2:(x-❑√5)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心C的轨迹方程为.答案x24-y2=1方法2求双曲线的离心率(或其取值范围)的方法1.(2017课标全国Ⅱ,5,5分)若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(❑√2,+∞)B.(❑√2,2)C.(1,❑√2)D.(1,2)答案C2.(2019天津,6,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐...
