第二节函数的单调性与最值A组基础题组1.下列函数中,在区间(0,+∞)上存在最小值的是()A.y=(x-1)2B.y=C.y=2xD.y=log2x答案A当x>0时,y=>0,y=2x>1,y=log2x∈R,故B,C,D均不符合题意,而y=(x-1)2≥0,故选A.2.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的是()A.f(x)=-xB.f(x)=x3C.f(x)=lnxD.f(x)=2x答案A“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”等价于在(0,+∞)上f(x)为减函数,易判断f(x)=-x符合题意,故选A.3.函数f(x)=-x+在上的最大值是()A.B.-C.-2D.2答案A解法一:易知y=-x,y=在上均单调递减,∴函数f(x)在上单调递减,∴f(x)max=f(-2)=.故选A.解法二:函数f(x)=-x+的导数为f'(x)=-1-,易知f'(x)<0,可得f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f(-2)=2-=.故选A.4.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则()A.f(-1)f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)答案A依题意得f(3)=f(1),因为-1<0<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)0,且a≠1)的最大值为1,则a的取值范围是()A.B.(0,1)C.D.(1,+∞)答案A当x≤2时,f(x)=x-1单调递增,∴f(x)max=f(2)=1,由题意知,当x>2时,f(x)=2+logax必为减函数,∴解得≤a<1,∴a的取值范围是.8.已知函数f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.解析f(x)===+a.任取x1,x2∈(-2,+∞),且x10,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,∴a>,即实数a的取值范围是.9.已知函数f(x)=-(a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.解析(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则x2-x1>0,x1x2>0, f(x2)-f(x1)=-=-=>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2) f(x)在上的值域是,且f(x)在上单调递增,∴f=,f(2)=2,∴a=.B组提升题组10.(2018北京东城期末,5)已知函数f(x)=,则f(x)的()A.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是增函数B.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是增函数C.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是减函数D.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是减函数答案B f(x)=,f(-x)===f(x),∴f(x)的图象关于y轴对称.任取x1,x2∈[0,+∞),且x10,-<0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,故选B.11.(2018北京东城二模,7)已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A.[-5,0]B.(-∞,-5]∪[0,+∞)C.(-5,0)D.(-∞,-5)∪(0,+∞)答案A由f(x)=log2x,x∈,得f(x)∈[-1,1].若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2),则g(x)max=g(2)=4+a≥-1,解得a≥-5,g(x)min=g=1+a≤1,解得a≤0.综上,-5≤a≤0,故选A.解题思路易知函数f(x)=log2x的值域为[-1,1],根据题意可得g(x)的值域是[-1,1]的子集.抓住这一点本题便可轻松得解.12.(2017北京东城一模)如果函数y=f(x)在定义域内存在区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],那么称f(x)为“倍增函数”.若函数f(x)=ln(ex+m)为“倍增函数”,则实数m的取值范围是()A.B.C.(-1,0)D.答案D 函数f(x)=ln(ex+m)为“倍增函数”,∴存在区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上...
