第三节导数与函数的极值与最值A组基础题组1.(2017北京丰台二模,18)已知函数f(x)=ex-alnx-a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:a∈(0,e),f(x)∀在区间上有极小值,且极小值大于0.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),因为a=e,所以f(x)=ex-e(lnx+1),所以f'(x)=ex-.因为f(1)=0,f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0.(2)证明:因为0
0,所以∃x0∈,使得-=0.所以∀x∈,f'(x)<0;x∈(x∀0,1),f'(x)>0,故f(x)在上单调递减,在(x0,1)上单调递增,所以f(x)有极小值f(x0).因为-=0,所以f(x0)=-a(lnx0+1)=a.设g(x)=a,x∈,则g'(x)=a=-,所以g'(x)<0,即g(x)在上单调递减,所以g(x)>g(1)=0,即f(x0)>0,所以函数f(x)的极小值大于0.2.已知函数f(x)=(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极大值点和极小值;(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.解析(1)当x<1时,f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=.(2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[-1,0)和上单调递减,在上单调递增.因为f(-1)=2,f=,f(0)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时,f(x)=alnx,当a≤0时,f(x)≤0;当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.综上所述,当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2.3.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)=x-(a+1)lnx-,其中a>0.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值g(a).(其中e是自然对数的底数)解析(1)当a=2时,f(x)=x-3lnx-,f'(x)=,此时,f(1)=-1,f'(1)=0,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1.(2)f(x)=x-(a+1)lnx-的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-+=,令f'(x)=0,得x=a或x=1.①当00,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=1-a;②当11时,f(x)=<0;当x<1时,f(x)=>0.若a≤1,由(2)可知f(x)的最小值为f(2),f(x)的最大值为f(a),所以对任意x1,x2∈[a,+∞),有f(x1)-f(x2)≥-成立等价于f(2)-f(a)≥-,即--≥-,解得a≥1,∴a=1.若a>1,求出a的值显然大于1.所以a的最小值为1.解法二:当x>1时,f(x)=<0;当x<1时,f(x)=>0.由(2)可知,f(x)的最小值为f(2)=-,若a<1,令x1=2,x2∈[a,1),则x1,x2∈[a,+∞).而f(x1)-f(x2)0,且x≠2},f'(x)=-+.曲线y=f(x)存在斜率为0的切线方程⇔f'(x)=0存在D上的解.令-+=0,整理得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.所以当a=1时,曲线y=f(x)存在斜率为0的切线.(2)证明:由(1)得,f'(x)=-+.①当a≤0时,f'(x)>0恒成立,函数f(x)在区间(0,2)和(2,+∞)上单调递增,无极值,不符合题意.②当a>0时,令f'(x)=0,整理得x2-...
