（课标通用版）高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质检测 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第5讲直线、平面垂直的判定与性质[基础题组练]1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形的个数为()A．4B．3C．2D．1解析：选A.由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形．2．下列命题中不正确的是()A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析：选A.根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行于平面β，也可能在平面β内或与平面β相交．3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选B.如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在直角三角形DNA中，sin∠DAN＝＝＝.4.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D.因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．5．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为________．解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl＝3πr2，即l＝3r，母线与底面夹角为θ，则cosθ＝＝.答案：6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__________________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB7．如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：(1)直线MN∥平面EBC；(2)直线EA⊥平面EBC.证明：(1)取BE的中点F，连接CF，MF.因为M是AE的中点，所以MF綊AB.因为N是矩形ABCD中边CD的中点，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF.又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC.(2)因为平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，又因为在矩形ABCD中，BC⊥AB，所以BC⊥平面EAB.又因为EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.因为EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC.8.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面AMN所成角的正弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，故CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD，则CD⊥AM，而PC⊥平面AMN，有PC⊥AM，又PC∩CD＝C，则AM⊥平面PCD，故AM⊥PD.(2)延长NM，CD交于点E，因为PC⊥平面AMN，所以NE为CE在平面AMN内的射影，故∠CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角，又因为CD⊥PD，EN⊥PN，则有∠CEN＝∠MPN，在Rt△PMN中，sin∠MPN＝＝，故CD与平面AMN所成角的正弦值为.[综合题组练]1．(应用型)正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则CE与平面ABCD所成角的大小为()A.B.C.D.解析：选C.作EG⊥底面ABCD于点G，作GH⊥DC于点H，设所求的角为θ，连接EH，CG，则∠ECG＝θ，则CD⊥EH.又得∠ECD＝120°，设AB＝2a，则EH＝a，GH＝a，所以EG＝a，sinθ＝＝＝，所以θ＝.故选C.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．解析：由题意画出图形，如图，设AC是...