第6讲平行、垂直的综合问题[基础题组练]1．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D.因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.2．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为解析：选B.若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，则BA′⊥A′C，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；VA′BCD＝VCA′BD＝，D不正确．故选B.3．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF.证明：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC.又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又因为AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF.由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.4．(2019·河南开封定位考试)如图，在三棱锥DABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC.(1)证明：平面BDC⊥平面ADC；(2)求三棱锥DABC的体积．解：(1)证明：在△ABC中，由余弦定理可得，BC＝＝＝，所以BC2＋AC2＝AB2，所以BC⊥AC，因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，所以BC⊥平面ADC，又BC⊂平面BDC，所以平面BDC⊥平面ADC.(2)由余弦定理可得cos∠ACD＝，所以sin∠ACD＝，所以S△ACD＝·AC·CD·sin∠ACD＝，则VDABC＝VBADC＝·BC·S△ACD＝.5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．(1)证明：AE⊥平面PAD；(2)取AB＝2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为，求PA的长度．解：(1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又因为BC∥AD，所以AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.(2)连接AH.由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE＝，tan∠EHA＝＝，所以当AH最短，即AH⊥PD时，∠EHA最大，此时tan∠EHA＝＝＝，因此AH＝.又因为AD＝2，所以∠ADH＝45°，所以PA＝AD＝2.[综合题组练]1．(2019·武汉市部分学校调研)如图(1)，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图(2)所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明：BE⊥平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，所以BE⊥平面D1AE.(2)＝，理由如下：取D1E的中点L，连接FL，AL(图略)，所以FL∥EC.又EC∥AB，所以FL∥AB，且FL＝AB.所以M，F，L，A四点共面，若MF∥平面AD1E，则MF∥AL.所以四边形AMFL为平行四边形，所以AM＝FL＝AB，＝.2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥ACEF的体积．解：(1)如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，又M为...
