第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程[基础题组练]1．若直线过点(1，1)，(2，1＋)，则此直线的倾斜角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.设此直线的倾斜角为α，则k＝tanα＝＝.又a∈[0，π)，所以α＝60°.故选C.2．(2019·大连模拟)倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.x－y＋1＝0B.x－y－＝0C.x＋y－＝0D.x＋y＋＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.3．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是()解析：选C.因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1.则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，在y轴上的截距＞1.故选C.4．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜B．k＞1或k＜C．k＞或k＜1D．k＞或k＜－1解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.5．过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为________．解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.答案：3x＋4y＋15＝06．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________．解析：直线l平分▱ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：y＝x.答案：y＝x7．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边的垂直平分线DE的方程．解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，所以BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.8．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3，4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，所以b＝±1.所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.[综合题组练]1．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是()A．8B．2C.D．16解析：选A.因为点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，所以y＝4－x，所以x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8.2．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：选C.因为直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，所以a＋b＝ab，即＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.3．已知线段MN两端点的坐标分别为M(－1，2)和N(2，3)，若直线kx－y＋k－2＝0与线段MN有交点，则实数k的取值范围是________．解析：直线kx－y＋k－2＝0过定点P(－1，－2)．MP平行于y轴，kNP＝＝，所以k≥.答案：4．直线l的倾斜角是直线4x＋3y－1＝0的倾斜角的一半，若l不过坐标原点，则l在x轴上与y轴上的截距之比为________．解析：设直线l的倾斜角为θ.所以tan2θ＝－.＝－，所以tanθ＝2或tanθ＝－，由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)．所以tanθ＝2.又设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.所以tanθ＝－.即＝－＝－.答案：－5．已知直线l：＋＝1.(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．解：(1)根据直线l的方程：＋＝1可得直线l过点(m，0)，(0，4－m)，所以k＝＝2，解得m＝－4.(2)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则由m>0，4－m>0得0
