（课标通用版）高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线检测 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第6讲双曲线[基础题组练]1．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝()A．2B．4C．6D．8解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为()A.－y2＝1B.－＝1C．x2－＝1D.－＝1解析：选A.由题意可得解得则该双曲线方程为－y2＝1.3．(2019·辽宁抚顺模拟)当双曲线M：－＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±x解析：选C.由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A．(2，∞＋)B．(1，2)C.D.解析：选A.由双曲线的性质可得|AF|＝，即以AB为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a＋c，由题意可知>a＋c，整理得c2－2a2－ac>0，两边同除以a2，则e2－e－2>0，解得e>2或e<－1，又双曲线的离心率大于1，所以e>2.5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1.由题意得即又c2＝a2＋b2，故b2＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1.同理可得所以b＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.综上所述，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.答案：－＝1或－＝16．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，所以＝.又b2＝c2－a2，所以＝，即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝.答案：7．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.所以＝3，得a＝3，b＝4，所以双曲线G的方程为－＝1.8．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得：a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，所以双曲线C的方程为－＝1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2与－＝1联立，得(1－3k2)x2－12kx－36＝0.由题意知解得0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A.由题意不妨设A，B，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则d1＝，d2＝，故d1＋d2＝＋＝＝2b＝6，故b＝3.又＝＝＝＝2，所以b2＝3a2，得a2＝3.所以双曲线的方程为－＝1.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.B．3C．2D．4解析：选B.法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝·tan60°＝3.故选B.法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又...