第3讲等比数列及其前n项和[基础题组练]1．已知{an}为等比数列且满足a6－a2＝30，a3－a1＝3，则数列{an}的前5项和S5＝()A．15B．31C．40D．121解析：选B.因为{an}为等比数列且满足a6－a2＝30，a3－a1＝3，所以可得S5＝＝31，数列{an}的前5项和S5＝31.2．(2019·辽宁五校联考)各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，所以log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.3．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m的值为()A．4B．7C．10D．12解析：选A.因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝a.又am－1am＋1－2am＝0，则a－2am＝0，所以am＝2，am＝0(舍)．由等比数列的性质可知前2m－1项的积T2m－1＝a，即22m－1＝128，故m＝4.选A.4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于()A．12B．13C．14D．15解析：选C.因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列．不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝＝＝3.所以bm＝4×3m－1.令bm＝324，即4×3m－1＝324，解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15＝324.所以n＝14.5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________．解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.答案：26．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32；所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.答案：－637．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5…＋＋b2n－1.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10.解得d＝2.所以an＝2n－1.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9.解得q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.从而b1＋b3＋b5…＋＋b2n－1＝1＋3＋32…＋＋3n－1＝.8．(2019·南昌市第一次模拟测试卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝Sn(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设{an}的公比为q，由S4－S3＝a4得，2a4－2a3＝a4，所以＝2，所以q＝2.又因为S3＝2a3－1，所以a1＋2a1＋4a1＝8a1－1，所以a1＝1，所以an＝2n－1.(2)由(1)知a1＝1，q＝2，则Sn＝＝2n－1，所以bn＝2n－1.Tn＝b1＋b2…＋＋bn＝2＋22…＋＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n.[综合题组练]1．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0.又a1＝2，则S101的值为()A．2B．200C．－2D．0解析：选A.设等比数列的公比为q.由an＋2an＋1＋an＋2＝0，得an(1＋2q＋q2)＝0.因为an≠0，所以1＋2q＋q2＝0，解得q＝－1，所以S101＝a1＝2.故选A.2．(应用型)(2019·安徽池州模拟)“在《增删算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是()A．此人第二天走了九十六里路B．此人第一天走的路程比...
