第4讲基本不等式[基础题组练]1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2解析：选D.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，因为ab>0，所以＋≥2＝2.2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，所≥以1；又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.3．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为()A．0B.C．1D.解析：选A.y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.4．(2019·长春市质量检测(一))已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为()A．8B．9C．12D．16解析：选B.由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6“”时取＝，故选B.5．已知x>0，y>0，2x＋y＝3，则xy的最大值为________．解析：xy＝＝×2xy≤×＝，当且仅当2x＝y＝时取等号．答案：6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：307．函数y＝(x>－1)的最小值为________．解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，x>－1，所以y≥2－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．答案：08．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝.得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.[综合题组练]1．若a>0，b>0，a＋b＝＋，则3a＋81b的最小值为()A．6B．9C．18D．24解析：选C.因为a>0，b>0，a＋b＝＋，所以ab(a＋b)＝a＋b>0，所以ab＝1.则3a＋81b≥2＝2≥2＝18，当且仅当a＝4b＝2时取等号．所以3a＋81b的最小值为18.故选C.2．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，∞＋)恒成立，则实数x的取值范围是()A．(－2，0)B．(∞－，－2)∪(1，∞＋)C．(－2，1)D．(∞－，－4)∪(2，∞＋)解析：选C.根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，∞＋)恒成立，则x2＋x<，因为＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－20，y>0，且2x＋4y＋xy＝1，则x＋2y的最小值是________．解析：令t＝x＋2y，则2x＋4y＋xy＝1可化为1＝2x＋4y＋xy≤2(x＋2y)＋＝2t＋.因为x>0，y>0，所以x＋2y>0，即t>0，t2＋16t－8≥0，解得t≥6－8.即x＋2y的最小值是6－8.答案：6－84．已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．解析：因为a＋b＝4，所以a＋1＋b＋3＝8，所以＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，所以＋的最小值为.答案：
