第3讲导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是()A．25，－2B．50，14C．50，－2D．50，－14解析：选C.因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.2．函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则a的值为()A．－1B．0C．1D．e解析：选C.f′(x)＝aex－cosx，若函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C.3．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为()A．120000cm3B．128000cm3C．150000cm3D．158000cm3解析：选B.设水箱底长为xcm，则高为cm.由得0＜x＜120.设容器的容积为ycm3，则有y＝－x3＋60x2.求导数，有y′＝－x2＋120x.令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去)．当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0.因此，x＝80是函数y＝－x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，此时y＝128000.故选B.4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：选D.由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－22时，1－x<－1，此时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．5．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表：x(∞－，0)0(0，2)2(2，∞＋)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以在x＝2处取得极小值．答案：26．若函数f(x)＝x3－12x＋a的极大值为11，则f(x)的极小值为____________．解析：函数的定义域为R，f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x1＝－2或x2＝2.列表：x(∞－，－2)－2(－2，2)2(2，∞＋)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值16＋a＝11极小值－16＋a所以当x＝－2时，函数有极大值f(－2)＝16＋a，由题意得16＋a＝11，解得a＝－5，当x＝2时，函数有极小值f(2)＝－16＋a＝－16－5＝－21.答案：－217．已知函数f(x)＝ax2－blnx在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)f(x)的定义域是(0，∞＋)，f′(x)＝2ax－，f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0，将a＝1代入2a－b＝0，解得b＝2.(2)由(1)得f(x)＝x2－2lnx(x>0)，所以f′(x)＝2x－＝，令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得00)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在[，e]上的最大值．解：(1)f′(x)＝－2bx，因为函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，所以解得(2)由(1)知，f(x)＝lnx－x2，f′(x)＝－x＝，当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1，令f′(x)<0，得1
