第1讲坐标系[基础题组练]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，则所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1
所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，其焦点坐标为(±，0)．2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1，从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2
θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．θ＝时，ρ＝，所以N
(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为
所以点P的直角坐标为，则点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(∞－，∞＋)．3．在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，在Rt△OAM中，∠OMA＝90°，∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4
因为cos∠AOM＝，所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，即ρ＝4cos＝4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos为所求．(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝90°，易得∠AOP＝，所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2
法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos
(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，得ρ＝2，所以圆C被直线l：θ＝－(
