第1讲坐标系[基础题组练]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，则所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，其焦点坐标为(±，0)．2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1，从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．θ＝时，ρ＝，所以N.(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为.所以点P的直角坐标为，则点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(∞－，∞＋)．3．在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，在Rt△OAM中，∠OMA＝90°，∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4.因为cos∠AOM＝，所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，即ρ＝4cos＝4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos为所求．(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝90°，易得∠AOP＝，所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2.法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos.(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，得ρ＝2，所以圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长为2.4．(2019·南昌市第一次模拟测试卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ1＝(ρ1∈R)，θ2＝(ρ2∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．解：(1)由参数方程得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，把代入x2＋(y－2)2＝4，得ρ2－4ρsinθ＝0.所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)由直线l1：θ1＝(ρ1∈R)与曲线C的交点为O，M，得|OM|＝4sin＝2.由直线l2：θ2＝(ρ2∈R)与曲线C的交点为O，N，得|ON|＝4sin＝2.易知∠MON＝，所以S△OMN＝|OM|×|ON|＝×2×2＝2.[综合题组练]1．(2019·沈阳质量检测(一))在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝α，0<α<π.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)设A，B分别为射线l与曲线C1，C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．解：(1)由曲线C1的参数方程(t为参数)，消去参数t得x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ.由曲线C2的直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4，得x2＋y2－4y＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)联立得A(2sinα，α)，所以|OA|＝2sinα，联立得B(4sinα，α)，所以|OB|＝4sinα，所以|AB|＝|OB|－|OA|＝2sinα，因为0<α<π，所以当α＝时，|AB|有最大值，最大值为2.2．(2019·湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)A，B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求＋的值．解：(1)由ρ2＝得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得到曲线C的直角坐标方程是＋y2＝1.(2)因为ρ2＝，所以＝＋sin2θ，由OA⊥OB，设A(ρ1，α)，则点B的坐标可设为，所以＋＝＋＝＋sin2α＋＋cos2α＝＋1＝.3．(综合型)(2019·河南名校联盟4月联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝5.(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标．解：(1)x2＋(y－1)2...
