思想方法训练3数形结合思想思想方法训练第6页一、能力突破训练1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数z1+i对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:由题图知,z=2+i,则z1+i=2+i1+i=2+i1+i·1-i1-i=32−12i,所以复数z1+i对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.方程sin(x-π4)=14x的实数解的个数是()A.2B.3C.4D.1答案:B解析:在同一平面直角坐标系内作出y=sin(x-π4)与y=14x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.若x∈{x|log2x=2-x},则()A.x2>x>1B.x2>1>xC.1>x2>xD.x>1>x2答案:A解析:设y1=log2x,y2=2-x,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图.由图可知,交点的横坐标1
x>1.4.已知函数f(x)={1+lnx,01,若关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(0,1)答案:D解析:f2(x)-(1+a)f(x)+a=0可变形为[f(x)-a][f(x)-1]=0,解得f(x)=a或f(x)=1.由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x∈(0,1]时,函数f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.当且仅当x=1时,f(x)=1.因为关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,所以f(x)=a恰有两个不同的实数根,即y=f(x),y=a的图象有两个交点.由图可知当010.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)答案:C解析:作出f(x)的大致图象.由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a2,(-2)3+t<-2,解得-60时,f(x)=(-ax+1)x=-a(x-1a)x,结合二次函数的图象(图略)可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增;当a>0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的图象大致如图.函数f(x)在区间(0,+∞)内有增有减,从而“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件,故选C.8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案:-12解析:在同一平面直角坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-12.9.函数f(x)=2sinxsin(x+π2)-x2的零点个数为.答案:2解析:f(x)=2sinxsin(x+π2)-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有两个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有两个交点,即函数的零点个数为2.10.若不等式√9-x2≤k(x+2)-√2的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=.答案:√2解析:令y1=√9-x2,y2=k(x+2)-√2,在同一平面直角坐标系中作出其图象,如图. √9-x2≤k(x+2)-√2的解集为[a,b],且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2√2),∴k=2√2+√21+2=√2.11.已知λ∈R,函数f(x)={x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案:(1,4)(1,3]∪(4,+∞)解析:当λ=2时,f(x)={x-4,x≥2,x2-4x+3,x<2.当x≥2时,f(x)=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0,解得14.故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=[f(x-π12)]2,求函数g(x)在区间[-π6,...
