第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且与其在(-∞,0)上的单调性也相同的是()A.y=1xB.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1答案C函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项A的函数为奇函数,不符合要求;选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合要求;选项D的函数为非奇非偶函数,不符合要求;只有选项C符合要求.2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=log3(x+1)+a,则f(-8)=()A.-3-aB.3+aC.-2D.2答案C因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=a=0,f(-8)=-f(8)=-log3(8+1)=-2.3.如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是()A.y=x+f(x)B.y=xf(x)C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)答案B因为f(x)是定义在R上的奇函数,y=x为奇函数,所以y=xf(x)一定为偶函数.4.已知函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2答案B设F(x)=f(x)-1=x3+sinx,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,所以f(-a)=0.故选B.5.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)答案Cy=f(x)的图象如图.当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0);当x∈(0,1)时,由xf(x)>0得x∈⌀.当x∈(1,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).6.若偶函数y=f(x)在R上是周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)=.答案-1解析∵f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),∴f(x)=x2+(1-a)x-a(-3≤x≤3),∵y=f(x)为偶函数,∴1-a=0.∴a=1,f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3).易得f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.7.(2019甘肃兰州模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)0且a≠1).解析(1)由1-x1+x≥0,得-10时,f(x)=x1-3x.(1)求当x<0时,f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)<-x8.解析(1)因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x),-x>0,又因为当x>0时,f(x)=x1-3x,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=--x1-3-x=x1-3-x.(2)当x>0时,f(x)<-x8,即x1-3x<-x8,所以11-3x<-18,所以13x-1>18,所以3x-1<8,解得x<2,所以x∈(0,2).当x<0时,f(x)<-x8,即x1-3-x<-x8,所以11-3-x>-18,所以3-x>32,所以x<-2,所以不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2).
