第一节导数的概念及运算1.已知函数f(x)=1xcosx,则f(π)+f'(π2)=()A.-3π2B.-1π2C.-3πD.-1π答案C∵f'(x)=-1x2cosx+1x(-sinx),f(π)=-1π,∴f(π)+f'(π2)=-1π+2π×(-1)=-3π.2.曲线y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程是()A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=0答案C因为y=sinx+ex,所以y'=cosx+ex,所以y'|x=0=cos0+e0=2,所以曲线y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.3.(2019湖北宜昌模拟)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.1答案B由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=aax-1.由f'(2)=2可得a2a-1=2,解得a=23.故选B.4.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)答案Cf'(x)=3x2-1,令f'(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C.5.曲线g(x)=x3+52x2+3lnx+b(b∈R)在x=1处的切线过点(0,-5),则b的值为()A.72B.52C.32D.23答案B当x=1时,g(1)=1+52+b=72+b,又g'(x)=3x2+5x+3x,所以切线斜率k=g'(1)=3+5+3=11,从而切线方程为y=11x-5,由于点(1,72+b)在切线上,所以72+b=11-5,解得b=52.故选B.6.(2019山东烟台模拟)若曲线y=ex-aex(a>0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[π3,π2),则a=()A.112B.13C.34D.3答案Cy'=ex+aex,∵y=ex-aex在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[π3,π2),∴ex+aex≥❑√3,由a>0知,ex+aex≥2❑√a当且仅当ex=aex时等号成立,故2❑√a=❑√3,故a=34,故选C.7.已知曲线y=lnx的一条切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.1eD.-1e答案Cy=lnx的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则切线斜率k=y'|x=x0=1x0,所以切线方程为y-y0=1x0(x-x0),又切线过点(0,0),将其代入切线方程得y0=1,则x0=e,所以k=1x0=1e.8.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=()A.-1B.0C.2D.4答案B由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率为-13,即f'(3)=-13.又g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+x·f'(x),所以g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×(-13)=0.故选B.9.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)ex,则f'(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.10.已知f(x)=e2-x+f'(2)(lnx-x),则f'(1)=.答案-e解析因为f(x)=e2-x+f'(2)(lnx-x),所以f'(x)=-e2-x+f'(2)(1x-1),令x=1,得f'(1)=-e+f'(2)(11-1)=-e.11.若函数f(x)=ln(2x+3)x2+1,则f'(x)=.答案2(x2+1)-2x(2x+3)ln(2x+3)(2x+3)(x2+1)2解析f'(x)=[ln(2x+3)]'(x2+1)-ln(2x+3)·(x2+1)'(x2+1)2=(2x+3)'2x+3·(x2+1)-2x·ln(2x+3)(x2+1)2=2(x2+1)-2x(2x+3)ln(2x+3)(2x+3)(x2+1)2.12.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=lnx+2得y'=1x,由y=ln(x+1)得y'=1x+1,∴k=1x1=1x2+1,∴x1=1k,x2=1k-1,∴y1=-lnk+2,y2=-lnk,即A(1k,-lnk+2),B(1k-1,-lnk),∵A,B在直线y=kx+b上,∴{2-lnk=k·1k+b,-lnk=k·(1k-1)+b⇒{b=1-ln2,k=2.13.已知点M是曲线y=13x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解析(1)y'=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,∴当x=2时,y'=-1,y=53,∴斜率最小的切线过点(2,53),斜率k=-1,∴所求切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得k≥-1,∴tanα≥-1,又∵α∈[0,π),∴α∈[0,π2)∪[3π4,π).故α的取值范围为[0,π2)∪[3π4,π).
