第三节导数与函数的单调性A组基础题组1.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上的单调情况是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增答案A在(0,2π)上有f'(x)=1-cosx>0恒成立,所以f(x)在(0,2π)上单调递增.2.函数f(x)=3+xlnx的单调递减区间是()A.(1e,e)B.(0,1e)C.(-∞,1e)D.(1e,+∞)答案B因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=lnx+x·1x=lnx+1,令f'(x)<0,解得01时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0,函数f(x)递增.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值.当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,函数f(x)递增,当-10,所以f'(x)<0,函数f(x)递减,所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值.符合条件的只有C项.5.若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是()A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.(-∞,0)D.(0,+∞)答案Cf'(x)=1+ax=x+ax,若f(x)=x+alnx不是单调函数,则f'(x)=0在(0,+∞)内有解,所以a<0,故选C.6.已知函数f(x)=ax+lnx,则当a<0时,f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.答案(0,-1a);(-1a,+∞)解析由已知得f(x)的定义域为(0,+∞).当a<0时,因为f'(x)=a+1x=a(x+1a)x,所以当x>-1a时,f'(x)<0,当00,所以f(x)的单调递增区间为(0,-1a),单调递减区间为(-1a,+∞).7.函数f(x)=lnx-x1+2x为函数(填“增”或“减”).答案增解析由已知得f(x)的定义域为(0,+∞).∵f(x)=lnx-x1+2x,∴f'(x)=1x-1+2x-2x(1+2x)2=4x2+3x+1x(1+2x)2.∵x>0,∴4x2+3x+1>0,x(1+2x)2>0.∴当x>0时,f'(x)>0.∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.8.若f(x)=xsinx+cosx,则f(-3),f(π2),f(2)的大小关系是.答案f(-3)f(2)>f(3)=f(-3).9.已知函数f(x)=lnx+a2x2-(a+1)x.若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2,求f(x)的单调区间.解析由已知得f'(x)=1x+ax-(a+1),则f'(1)=0.而f(1)=ln1+a2-(a+1)=-a2-1,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-a2-1.∴-a2-1=-2,解得a=2.∴f(x)=lnx+x2-3x,f'(x)=1x+2x-3.由f'(x)=1x+2x-3=2x2-3x+1x>0,得01,由f'(x)=1x+2x-3<0,得120都有2f(x)+xf'(x)>0成立,则()A.4f(-2)<9f(3)B.4f(-2)>9f(3)C.2f(3)>3f(-2)D.3f(-3)<2f(-2)答案A设g(x)=x2f(x)⇒g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x·[2f(x)+xf'(x)],则当x>0时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,易得g(x)是偶函数,则4f(-2)=g(-2)=g(2)0,解得a>-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).3.已知函数f(x)=x2+alnx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.解析(1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),当a=-2时,f'(x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x,由f'(x)<0得01时,g(x)>0.解析(1)f'(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0得x=1❑√2a.当x∈(0,1❑√2a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1❑√2a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s'(x)=ex-1-1.当x>1时,s'(x)>0,所以s(x)在(1,+∞)内为增函数,所以s(x)>s(1),即ex-1>x,从而g(x)=1x-1ex-1>0.
