第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布高考中概率与统计问题的热点题型1．概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．2．概率问题的核心是概率计算．其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年新课标全国卷突出回归分析的考查．3．离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．热点一统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择题或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查．[典题1]一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生A1A2A3A4A5数学成绩x(分)8991939597物理成绩y(分)8789899293(1)要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；(2)根据上表数据，用变量y与x的相关系数和散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r＝；回归直线的方程是y＝bx＋a，其中b＝，a＝－b；参考数据：＝93，＝90，(xi－)2＝40，(yi－)2＝24，(xi－)(yi－)＝30，≈6.32，≈4.90.[解](1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共10种情况．其中至少有一人的物理成绩高于90分的情况有(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共7种情况，故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率为.(2)变量y与x的相关系数是r＝≈0.97.可以看出，物理成绩与数学成绩高度正相关．散点图如图所示：从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩正相关．设y与x的线性回归方程是y＝bx＋a，根据所给的数据，可以计算出b＝＝0.75，a＝90－0.75×93＝20.25，所以y与x的线性回归方程是y＝0.75x＋20.25.1．求解线性回归方程时，要熟悉公式中每个量的实际含义，要有很强的计算能力，运算时要细心，一个数据错误，将会导致整个求解的错误．2．对于非线性回归方程，可利用换元的方式化为线性回归方程来求解，然后再写成非线性回归方程的形式．[2017·河北石家庄模拟]4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图．若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X)．附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解：(1)2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计6040100K2＝≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．(2)将频率视为概率，则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P＝.由题意可知，X～B，P(X＝i)＝Ci3－i(i＝0,1,2,3)．X的分布列为X0123P均值E(X)＝np＝3×＝，方差D(X)＝np(1－p)＝3××＝.热点二常见概率模型的概率计算几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点．几何概型主要...
