二项式系数的性质VIP免费

6.3.2二项式系数的性质一：学习任务：1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)2.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)二：学习重难点教学重点：理解和初步掌握赋值法及其应用．教学难点：理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．三：教学过程2knC1Cn，，Cn，，Cn（一）教学情境引入：(ab)n的展开式的二项式系数C0有很多有n，n，趣的性质，这节课就让我们从不同的角度来研究一下吧.（二）基础知识讲解：问题1：你可以分别计算n=1,2,3,4,5,6时的二项式系数，并将通过合适列表呈现出来吗？问题2：你发现了哪些规律？知识点二项式系数的性质(1)CnmCnnm，CnmCnm1Cnm1(2)即kn1n1k时，Ck时，Ckn随k的增加而增大；当n随k的增加而减小.22nnn12n当n是偶数时，中间的一项C2取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C且同时取得最大值.nn(ab)(3)的展开式的各二项式系数的和等于2.和Cn12n相等，（三）典型例题讲解：类型1赋值法的应用1例1、求证：在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.24分析：奇数项的二项式系数的和为C0nCnCn，偶数项的二项式系数的和为na，b可以取任意Cnnb中的35C1nCnCnn1n1n22.由于(ab)nC0bC2bnaCnanab适当賦值来得到上述两个系数和.实数，因此我们可以通过对a，n1n1n22bC2b证明：在展开式(ab)nC0naCnananCnnb中，12令a1，b1，则得(11)nC0nCnCnk(1)kCn(1)nCnn.024即CnCnCnC1n5C3nCn0.，24因此C0nCnCn35C1nCnCn即在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.变式：已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值．[解]令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(1) a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)由(①－②)÷2，得－1－37a1＋a3＋a5＋a7＝2＝－1094.(3)由(①＋②)÷2，得－1＋37a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1093.2①②(4)法一：(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7不大于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093＋1094＝2187.法二： |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.类题通法二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，f（1）＋f（－1）奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，2f（1）－f（－1）偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.2[跟进训练]1．设(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022·x2022(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2022的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2022|的值；(4)a1＋2a2＋3a3＋…＋2022a2022的值.[解](1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2022＝(－1)2022＝1.(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2021＋a2022＝32022.①－②得②①32(a1＋a3＋…＋a2021)＝1－32022，1－32022∴a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝2.rrrr(3) Tr＋1＝Cr2022(－2x)＝(－1)·C2022·(2x)，∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N).∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2022|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＋a2022＝32022.(4) (1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022(x∈R)，∴两边分别求导得－4044(1－2x)2021＝a1＋2a2x＋…＋2022a2022x2021(x∈R)，令x＝1得，4044＝a1＋2a2＋…＋2022a2022，∴a1＋2a2＋3a3＋…＋2022a2022＝4044.类型2二项式系数性质的应用3【例2】已知f(x)＝(x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)...