九年级分层作业：二次函数2012.10姓名班级一、知识要点与能力要求二次函数是竞赛中重要内容，它涉及代数的数式、方程、不等式和几何的全等，相似及圆等各种概念和运算，它又是函数和平面几何结合，以此在数量上研究代数、几何之间的内在联系。1、形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数称为二次函数，其图象是一条抛物线，而抛物线的形状、大小、开口方向仅仅与a有关。|a|越大，图象开口越小，抛物线的对称轴为x=－，顶点（－，）。2、二次函数的解析式（1）一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)（2）顶点式：y=a(x+m)2+k(a≠0)，其中(－m,k)是顶点坐标。（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标。3、要求能根据题目给出的具体条件，选择地应用待定系数法求关系式，巧妙地构造二次函数模型解决代数问题。二、解题示范例1、已知二次函数y=(a2－2)x2－4ax+b的图象的对称轴是直线x=2,且它的最高点在直线y=x+1上。（1）求此二次函数解析式。（2）若此二次函数的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到M点时，图象与x轴交于A，B两点，且S△ABM=8，求此时二次函数的解析式分析：求二次函数解析式，应根据题目条件选择适当形式，再用待定系数法求解，本题中用选择顶点式较简单。解：由题意得：解得：a=－1,b=－2所以二次函数解析式是y=－x2+4x－2（2）设顶点坐标M(m,m+1)由对称性设A(m－t,0),B(m+t,0)(t＞0)设所求二次函数解析式为y=－(x－m)2+m+1,又由已知=8，则AB.|ym|=8,|1ym|=|m+1|=m+1从而得t=2，m=6故所求二次函数解析式为y=－(x－6)2+4例2:已知a＜0,b0,c＞0且=b－2ac。求b2－4ac的最小值。分析：由b2－4ac联想到构造二次函数，转化为与x轴交点问题以及顶点坐标问题。解法一：由=b－2ac,得b2－4ac=(b－2ac)2化简得b=ac+1,即ac=b－1,所以b2—4ac=b2—4(b—1)=(b－2)2≥0,又b≤0,故（b－2）2≥4,又令b=0,a=－1,c=1时等号成立，因此b2－4ac的最小值为4。解法二：令y=ax2+bx+c,由于a＜0,b≤0,c＞0,则b2－4ac＞0，故此时图象如图所示，一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点，A（x1,0）B(x2,0) x1x2=ca＜0，不妨设x1＜x2,则x1＜0＜x2又 ，于是由题意得故由图象知∴三、能力测试（6分*10=60分）。1、某同学推铅球行进的高度y米与水平距离x米之间关系式为则铅球落地时距离是（）A．米B．４米C．８米D．１２米2.抛物线y=x2-2x+3关于y轴对称后的抛物线解析式是（）A、y=x2+2x+3B、y=-x2-2x+3C、y=-x2+2x-3D、y=x2-2x-33.当K取任何实数时，抛物线2245yxkk的顶点所在曲线是（）A、y=x2B、y=-x2C、y=x2(x＞0)D、y=－x2(x＞0)4.抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到抛物线C的解析式是y=2(x+1)2-1,则抛物线A所对应的函数关系式是（）A、y=－2（x+3）2-2B、y=－2（x+3）2+22点评：本题形式上是个恒等式，却可巧妙利用二次函数性质解决，体现了重要的转化思想。B1xA2xCOxyC、y=－2（x-1）2-2D、y=－2（x-1）2+25.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc的值是（）A、abc＞0B、abc≥0C、abc＜0D、abc≤06.抛物线y=x2-2x+m的顶点在直线y=x-1上，则m=________.7.对于任意实数x,243yaxxa的值都不大于3，则a的取值范围是_____8.已知点P(a,m)和Q（b,m）是抛物线2243yxx上的两个不同点，则a+b=_________.9.使2816x2x+4取最小值的实数x的值为___________.10.已知直线y=－2x+3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于____________四、能力提升（10分*4=40分）1.已知抛物线y=的顶点在抛物线y=x2上，且在x轴上截得的线段长为43，求m与k的值。2.已知抛物线y=x2－ax+2（a-3）。（1）求证：不论a取任何实数值，这条抛物线与x轴都有两个交点。（2）当抛物线的顶点位置最高时，求抛物线与x轴两个交点之间的距离。3.已知二次函数2211yxmxm.(1)随着m的变化，该二次函数的图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛3第5题Oxy物线的函数表达式；如果不是，请说明理由。（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1图象的顶点P，求此时m的值。4、某跳水运动...
