高三数学寒假能量包——专题练习5空间向量与立体几何含答案VIP免费

专题5空间向量与立体几何【典例剖析】1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CC1的中点．则下列说法正确的是（）A．异面直线AM与BC所成角的余弦值为53B．三棱锥B1ABM的体积是三棱锥CABM体积的3倍C．直线BM与平面BDD1B1所成角的正弦值等于155D．在棱AB上一定存在点N，使得C1N//平面BDM【答案】D【解析】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，如图所示，对于A中，在正方体ABCDA1B1C1D1中，可得BC∥AD，所以异面直线AM与BC所成角等于直线AD与AM所成的角，设MAD，AD2，所以不正确；AM31114对于B中，可得VB1ABMVAB1BMS△B1BMAB222，33231112VCABMVABCMS△BCMAB212，3323在直角△MAD中，可得AD2，AM3，所以cos所以VB1ABM2VCABM，所以不正确；对于C中，在正方体ABCDA1B1C1D1中，可得CC1∥平面BDD1B1，则点M到平面BDD1B1的距离等于点C到平面BDD1B1的距离，连接AC交BD于点O，可得CO平面BDD1B1，且CO即点M到平面BDD1B1的距离为2，设直线BM与平面BDD1B1所成角为，则sin对于D中，当点N与点A重合时，连接AC1，在△ACC1中，由点M,O分别为CC1，AC的中点，可得OM∥AC1，又由AC1平面BDM，OM平面BDM，所以AC1∥平面BDM，即在棱AB上一定存在点N，使得C1N//平面BDM，所以是正确的，故选D．2．如图，在多面体ABCDEFG中，面ABCD为正方形，面ABFE和面ADGE为全等的矩形，且均与面ABCD垂直．2，CO210，所以不正确；BM55（1）求证：平面BDE//平面CFG；（2）若直线AE和平面BDE所成角的正弦值为【答案】（1）证明见解析；（2）1，求二面角AFGC的余弦值．37．9【解析】（1）证明： 四边形ABCD为正方形，四边形ADGE为矩形，∴BCEG，且BCEG，∴四边形BCGE为平行四边形，∴BE//CG．又 BE平面CFG，CG平面CFG，∴BE//平面CFG，同理DE//平面CFG．又 BE，DE为平面BDE内的两条相交直线，∴平面BDE//平面CFG．（2） 四边形ABFE为矩形，∴AEAB，又平面ABFE平面ABCD，且平面ABFE∴AE⊥平面ABCD．又ABCD为正方形，∴AB，AD，AE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．平面ABCDAB，设AB1，AEaa0，则A0,0,0，B1,0,0，D0,1,0，E0,0,a，故AE(0,0,a)，BD(1,1,0)，BE(1,0,a)．x1y10nBD0设平面BDE的法向量为nx1,y1,z1，则有，即，xaz011nBE0令z11，则x1y1a，∴n(a,a,1)； 直线AE和平面BDE所成角的正弦值为1，31a1(a0)，解得a2，∴cosn,AE，即233a2a1∴n2,2,1，AF(1,0,2)，AG(0,1,2)．x22z20mAF0设平面AFG的法向量为mx2,y2,z2，则有，即，y2z022mAG0令z21，则x2y22，∴m(2,2,1)， 平面BDE//平面CFG，∴平面CFG的一个法向量也为n2,2,1．设二面角AFGC的大小为，则coscosn,m2222112222122222(1)27．97，9又二面角AFGC为锐角，故其余弦值为【对点训练】一、单选题．1．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（）A．若m，mn，则nC．若m，n，//，则mnB．若，m，则mD．若m//，n，//，则mn2．已知两条不同的直线m，n，三个不重合的平面，，，下列命题正确的是（）A．若m//n，n，则m//C．若m，m，则//B．若，，则//D．若，m，则m3．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM2MC，PNND，NMxAByADzAP，则xyz=（）A．23B．23C．1D．564．如果向量a2,1,3，b1,4,2，c7,7,m共面，则实数m的值是（）A．11B．8C．7D．15．已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，AB平面BCD，ABBCCD=1，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．3π2B．3π2C．3πD．3π二、多选题．6．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N是线段A1C1上的两个动点，则下列结论正确...