（通用版）2016年高考数学二轮复习专题七数列第1讲等差等比数列考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(2014·高考课标全国卷Ⅱ，12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)…证明：＋＋＋<.(必修5P33习题A组T4)写出下面数列{an}的前5项：(1)a1＝，an＝4an－1＋1(n>1)；(2)a1＝－，an＝1－(n>1).将特殊问题一般化，是命题制作的有效途径．体现了特殊与一般的结合.[教材变式训练]一、选择题[变式1](必修5P68B组T1(1)改编)已知{an}是等比数列，an>0，且a＋a3a7＝8.则log2a1＋log2a2…＋＋log2a9＝()A．8B．9C．10D．11解析：选B.∵a＋a3a7＝8.an>0.∴2a＝8.∴a5＝2.∴log2a1＋log2a2…＋＋log2a9＝log2[(a1a9)(a2a8)(a3a7)·(a4a6)·a5]＝log2(a5)9＝9log22＝9.[变式2](必修5P68A组T8改编)Sn是等差数列{an}的前n项之和，若S7－S2＝45，则S9为()A．54B．63C．72D．81解析：选D.法一：∵S7－S2＝45.即a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝45.即5a5＝45，a5＝9，∴S9＝＝9a5＝81.法二：∵S7－S2＝45，∴7a1＋21d－(2a1＋d)＝45.即a1＋4d＝9.∴S9＝9a1＋36d＝9(a1＋4d)＝9×9＝81.[变式3](必修5P38例3改编)已知p：数列{an}是等差数列，q：数列{an}的通项公式an＝k1n＋k2(k1，k2均为常数)，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.若{an}是等差数列，不妨设公差为d.∴an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，令k1＝d，k2＝a1－d，则an＝k1n＋k2，若数列{an}通项公式an＝k1n＋k2(k1，k2为常数，n∈N*)，则当n≥2且n∈N*时，an－1＝k1(n－1)＋k2，∴an－an－1＝k1(常数)(n≥2且n∈N*)，∴{an}为等差数列，∴p是q的充要条件．[变式4](必修5P53A组T1(4)改编)在等比数列{an}中，an>0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，设bn＝log2an，{bn}的前n项和为Sn，则Sn>10时n的最小值为()A．5B．6C．7D．8解析：选B.由⇒，解得或，∵an>0，∴a1＝1，q＝2，an＝2n－1，∴bn＝log2an＝log22n－1＝n－1；∴Sn＝×n＝，由Sn>10得n2－n－20>0，解得n>5，故n的最小值为6.[变式5](必修5P61A组T6改编)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，下列结论正确的是()A．a1，a7，a4成等差数列B．a1，a7，a4成等比数列C．a1，2a7，a4成等差数列D．a1，2a7，a4成等比数列解析：选A.显然q＝1时不合题意，依题意得S3＋S6＝2S9即(1－q3)＋(1－q6)＝(1－q9)⇒1＋q3＝2q6⇒a1＋a1q3＝2a1q6⇒a1＋a4＝2a7，∴a1，a7，a4成等差数列．[变式6](必修5P67A组T2(3)改编)数列7，77，777，7777…，的通项公式是()A．an＝7(10n－1－1)B．an＝(10n－1)C．an＝(10n－1－1)D．an＝7(10n－1)解析：选B.an＝77…7n个＝7(1＋10＋102…＋＋10n－1)＝7×＝(10n－1)．二、填空题[变式7](必修5P46B组T2改编)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝20，S12＝50，则S18的值为________．解析：∵数列{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，∴由等差数列性质可知S6，S12－S6，S18－S12也构成等差数列，∴S18－S12＝40，∴S18＝90.答案：90[变式8](必修5P53A组T1(4)改编)在等比数列{an}中，an>0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________．解析：∵a5－a1＝15，a4－a2＝6.∴a1q4－a1＝15，①a1q3－a1q＝6，②且q≠1.得＝，即2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，当q＝2时，a1＝1；当q＝时，a1＝－16(舍去)．∴a3＝1·22＝4.答案：4三、解答题[变式9](必修5，P46B组T4改编)在等差数列{an}中，公差为d≠0，a1＝2且a5是a3与a8的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前2016项的和．解：(1)依题意a＝a3·a8，即(2＋4d)2＝(2＋2d)(2＋7d)⇒d2＝d，又d≠0，∴d＝1，∴数列{an}的通项公式为an＝n＋1.(2)bn＝＝＝－，∴S2016＝b1＋b2…＋＋b2016＝(1－)＋(－)…＋＋(－)＋(－)＝1－＝.[变式10](必修5P33A组T4(1)改编)已知数列{an}，a1＝，an＝4an－1＋1.(1)是否存在常数C，使{an＋C}是等比数列，若存在，求出C，若不存在，说明理由；(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.解：(1)∵a1＝，an＝4an－1＋1，∴an＋C＝4an－1＋1＋C＝4(an－1＋)，令C＝，即C＝.当C＝时，an＋＝4(an－1＋)．∴存在常数C＝，使{an＋}是首项为a1＋＝，公比为4的等比数列．(2)由(1)知．an＋＝×4n－1，∴an＝×4n－1－，即数列{an}的通项公式为an＝×4n－1－，Sn＝a1＋a2…＋＋an＝(40＋41＋42…＋＋4n－1)－＝·－＝·4n－－.∴数列{an}的前n项之和为Sn＝·4n－－.
