（通用版）2016年高考数学二轮复习专题七数列第2讲数列问题的综合考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(2014·高考课标全国卷Ⅰ，12分)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和.(必修5P68复习考题A组T11)数列{an}是等差数列，a1＝f(x＋1)，a2＝0，a3＝f(x－1)，其中f(x)＝x2－4x＋2，求通项公式an.函数、方程与数列有亲密无间的关系，利用函数、方程的相关知识点为背景产生的数列问题具有生命力极强的特点.[教材变式训练][变式1](必修5P68B组T2改编)在等比数列{an}中，an>0，，，＋1成等差数列，且a1＋2a2＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝logan，求数列{anbn}的前n项和．解：(1)设等比数列{an}中公比为q，由an>0知q>0依题意＋(＋1)＝，即a1－a2＝a1a2⇒a1q＝1－q.又a1＋2a2＝2⇒a1＋2a1q＝2，由，解得或(舍)，∴数列{an}的通项公式为an＝.(2)∵bn＝logan＝n－1，∴anbn＝，设数列{anbn}的前n项和为Sn，则Sn＝0…＋＋＋＋＋，Sn…＝＋＋＋＋＋，相减得Sn＝＋＋…＋＋－＝－＝1－，∴Sn＝2－.[变式2](必修5P46A组T6改编)两个等差数列{an}与{bn}的前3项分别为2，6，10与2，8，14，由这两个等差数列的公共项从小到大的顺序构成一个新数列{cn}．(1)求数列{cn}的通项公式；(2)若nn.依题意得2(12m－10)＝(12n－10)2，∴m＝6＋(n∈N*)．由二次函数知y＝6＋在上单调递增，又当n＝1时m＝1与m>n矛盾，当n＝2时，m＝6×＋＝9，满足m>n，∴所求m的最小值为9.[变式3](必修5P47A组T4改编)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2…＋＋bn，求Tn.解：(1)证明：∵Sn＝，n∈N*，∴当n＝1时，a1＝S1＝(an>0)，∴a1＝1.当n≥2时，由得2an＝a＋an－a－an－1.即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2)，∴数列{an}是等差数列．(2)由(1)可得an＝n，Sn＝，bn＝＝＝－.∴Tn＝b1＋b2＋b3…＋＋bn＝1…－＋－＋＋－＝1－＝.[变式4](必修5P44－P45例3、例4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，求an；(2)求数列的前n项和Tn.解：(1)当n＝k(k∈N*)时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，所以an＝－n.(2)令bn＝＝，Tn＝b1＋b2…＋＋bn＝1…＋＋＋＋＋，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1…＋＋＋－＝4－－＝4－.[变式5](必修5P69B组T6改编)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1＋3an.(1)求证：{an＋1－3an}是等比数列．(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：∵a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1＋3an，∴an＋2－3an＋1＝－an＋1＋3an＝－(an＋1－3an)．a2－3a1＝－1.∴数列{an＋1－3an}是首项为－1，公比为－1的等比数列．(2)由(1)得an＋1－3an＝(－1)n，两边同除以3n＋1－＝·(－)n，则有－＝·(－)1，①－＝(－)2，②……－＝·(－)n－1.(n－1)①…＋②＋＋(n－1)得－＝[(－)＋(－)2…＋＋(－)n－1]＝－－(－)n，∴an＝·3n－·(－1)n，∴{an}的通项公式为an＝×3n－(－1)n＝[3n－(－1)n]．[变式6](必修5P67A组T2(1)改编)数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．b1＝2a1＝2，b2－a2＝1，b3－a3＝3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式．(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项之和Sn.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q≠0)，∵b1＝2a1＝2.∴a1＝1；由b2－a2＝1，b3－a3＝3，得解之得q＝2，d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.bn＝2·2n－1＝2n.(2)cn＝＝.Sn…＝＋＋＋＋，①∴Sn…＝＋＋＋＋，②①－②得Sn＝＋2(…＋＋＋)－＝－－，∴Sn＝3－，即数列{cn}的前n项之和为Sn＝3－.
