课时达标检测（五十九）直接证明与间接证明、数学归纳法[——小题对点练点点落实]对点练(一)直接证明1．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：选A≥≥因为，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f，即A≤B≤C.2．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥b>aB．a>c≥bC．c>b>aD．a>c>b解析：选A c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2. 1＋a2－a＝2＋>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a，故选A.3．(2018·山西大同质检)“分析法又称执果索因法，若用分析法证明设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0解析：选C要证0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证[2a－(a＋b)](a－c)>0，即证(a－b)(a－c)>0，故索的因应是(a－b)(a－c)>0.4．已知a，b∈R，m＝，n＝b2－b＋，则下列结论正确的是()A．m≤nB．m≥nC．m>nD．mc>b6．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1cn＋1对点练(二)间接证明1“．用反证法证明命题：若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d”中至少有一个负数的假设为()A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全都为正数C．a，b，c，d全都为非负数D．a，b，c，d中至多有一个负数解析：选C“用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而a，b，c，d中至少”“有一个负数的否定是a，b，c，d”全都为非负数．2“．用反证法证明若△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则B<”时，应假设()A．B>B．B＝C．B≥D．B≤答案：C3“．用反证法证明命题设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0”至少有一个实根时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A“”“”反证法中否定结论需全否定，至少有一个的否定为一个也没有．对点练(三)数学归纳法1．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是()A．1B．2C．3D．4解析：选C n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是()A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立解析：选D当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．3．用数学归纳法证明1＋2＋3…＋＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为______________．解析：当n＝k时左端为1＋2＋3…＋＋k＋(k＋1)＋(k＋2)…＋＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3…＋＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)…＋＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)…＋＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)…＋＋(k＋1)2[——大题综合练迁移贯通]1．已知数列{an}的通项公式为an＝.求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p
